АРИФМЕТИКА (греч. arithmetike от слова arithmos — число) — одна из основных отраслей математики, изучающая простейшие свойства натуральных (целых положительных) чисел и (рациональных) дробей и действия, производимые над этими числами. Объекты математики, как замечает С. Клини [82, стр. 33], обычно рассматриваются как индивидуумы (т. е. без анализа их построения из других объектов), исключая некоторые случаи (напр., основные свойства неотрицательных рациональных чисел изучаются при помощи представления их в виде упорядоченных пар натуральных чисел). Логическим анализом понятия «число» занимается теоретическая арифметика, или, как ее иногда называют, арифметика в широком смысле слова. Арифметика в узком смысле слова рассматривает преимущественно такие операции, как -f- (сложение) и •(умножение), и некоторые другие операции,связанные со сложением и умножением. Наиболее важным в области теоретических проблем арифметики считается создание общего учения о величинах, соответствующего абстрактного учения о числе (целом, рациональном и иррациональном) и буквенного аппарата алгебры.
В XIX в. началось аксиоматическое построение арифметики, что было связано с общим процессом критического пересмотра логических основ математики. Важнейшую роль здесь сыграли работы Н. И. Лобачевского по геометрии. В середине XIX в. немецкий математик Г. Грасман создал систему основных аксиом, определяющих действия сложения п умножения, из которой как логическое следствие вытекали все остальные положения арифметики. Работы Грасмана завершил итальянский математик и логик Дж. Пеано, который сформулировал систему аксиом, которая явилась аксиоматическим определением основных понятий арифметики, а именно: понятия натурального числа, понятия следования одного числа непосредственно за другим в натуральном ряде и понятие начального члена натурального ряда. См. Пеано, Система аксиом Пеано- Но, как полагает И. В. Арнольд, все эти построения, решившие задачи обоснования формальных положений арифметики, «оставляют в стороне вопрос о логической структуре арифметики натуральных чисел в более широком смысле слова... Если простейшие предложения арифметики, относящиеся к элементарному счету объектов и являющиеся обобщением многовекового опыта человечества, естественно укладываются в простейшие логические схемы, то арифметика как математическая дисциплина, изучающая бесконечную совокупность натуральных чисел, требует исследования непротиворечивости соответствующей системы аксиом и более детального анализа смысла вытекающих из нее общих предложений» [1757, стр. 197—199]. Как замечают А. Френкель и й. Бар-Хиллел в работе [1524], арифметика, будучи важнейшим разделом математики, многими нитями связана с теорией множества, так что терминологическая неясность в арифметических вопросах мошет оказаться причиной такого же рода терминологических недоразумений, касающихся уже теории множеств.