«АХИЛЛЕС И ЧЕРЕПАХА» — один из типичных парадоксов, автором которого является древнегреческий мыслитель Зенон Элейский (ок. 490—430 до н. э.). Корректная формулировка этого парадокса такова: быстроногий Ахилл никогда не может догнать самого медленного животного — черепаху, так как при условии одновременного начала их движения в момент появления Ахилла на месте черепахи, черепаха уже уползет на 1/10 этого расстояния, а когда Ахилл пройдет эту 1/10, черепаха уползет вперед еще на 1/100 и т. д. и т. д. во всех отдельных точках пути движения. Поскольку этот процесс деления пути бесконечен, т. е. не имеет конца, постольку Ахилл никогда не настигнет черепаху. Получается неожиданное высказывание, резко расходящееся с общепринятым мнением и практикой, так как в жизни Ахилл, конечно, догонит черепаху.
В чем дело?
Во-первых, Зенон, чтобы быть последовательным, начал мысленно делить путь, который должен пробежать Ахилл, на все более короткие и бесконечно уменьшающиеся отрезки, в мысли это сделать можно, но практически осуществить сие невозможно, так как пространство (частицы земли), по которому бежит Ахилл, имеет предел деления (молекулу, атом). Как известно, Аристотель сказал, что Ахилл догонит черепаху, если ему позволят «перейти границу». Гегель считал этот ответ Аристотеля правильным,^ «ибо действительно половина становится здесь (на известной ступени) «границей»» [14, стр. 231—232]. Но Зенон «забыл» еще и другое, делить на бесконечно уменьшающиеся отрезки время движения. А если это учесть, то для любого все более мелкого отрезка найдется время все более короткое, чтобы его пройти.
Во-вторых, деля путь, по которому бежит Ахилл, до бесконечности, Зенон одновременно мысленно не уменьшает объем Ахилла до бесконечности. Но ведь живой Ахилл по сравнению с бесконечно малыми объектоми, на которые Зенон мысленно разделил путь, является бесконечно большой величиной. Так что уже в этом допускается нелогичность рассуждения Зенона. А кроме того, бесконечно большая масса передвигается бесконечно большими дистанциями по сравнению с бесконечно малым отрезком, о котором говорит Зенон. Поэтому Ахилл, перешагивая сразу бесконечное количество точек пути, перешагнет одновременно и тот бесконечно малый отрезок пути, который Зенону кажется непреодолимым. В объективной действительности бесконечно малое и бесконечно большое находятся в единстве. Правильно обнаружив противоречивость движения, Зенон не понял единства противоположных моментов движения и сделал неправомерный вывод, что в понятиях нельзя отобразить движение.
Выписав из «Лекций по истории философии» Гегеля следующее место: «Что составляет всегда затруднение, так зто — мышление, потому что оно связанные в действительности моменты предмета рассматривает в их разделении друг от друга», Ленин на полях своего конспекта пишет: «верно!» [14, стр. 232]. Мышление упрощает, угрубляет, омертвляет живое. Так, движение оно может представить как нахождение тела в данный момент в данном месте, в другой, следующий, момент в другом месте. Но это — подмена процесса его результатом.
Интерес к парадоксу «Ахиллес и черепаха» не угас и в наши дни. В философской и логической литературе высказывается ряд способов трактовки этой апории. Чаще всего предполагают [1570, стр. 208], как его рекомендовал еще и Аристотель, отказаться от посылки о том, что физическое пространство делимо до бесконечности. В таком случае все решается просто: раз есть предел делимости пути, то в момент наступления предела делимости Ахилл догонит черепаху.
Другие корень противоречия в этом парадоксе видят в следующем: Зенон отождествляет и считает совпадающими два процесса — физическое движение и возникновение в нашем сознании последовательных частей, тогда как в действительности полного тождества здесь нет.
Имеется и такая интерпретация парадокса «Ахиллес» [219, стр. 172]: Зенон не располагал еще математическим понятием «предела» (не умел суммировать, напр., геометрическую прогрессию V» + Ч* + Ч, + • ••) и думал, что сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и чрезвычайно малых, протяженных величин обязательно должна быть бесконечно малой, почему и приходил к заключению, что движение никогда не закончится, а быстроногий Ахилл не догонит черепаху.
В 1927 г. известный немецкий математик Г. Вейль в книге «Философия математики» писал о парадоксе «Ахиллес»: «Если бы, в соответствии с парадоксом Зенона, отрезок длины 1 можно было составить из бесконечного количества отрезков длины V2, 'Л, '/а, ••-, взятых каждый как отдельное целое, то непонятно, почему какая-нибудь машина, способная пройти эти бесконечно многие отрезки в конечное время, не могла бы совершить в конечное время бесконечное множество актов решения, давая, скажем, первый результат через V2 минуты, второй — через V4 минуту, после этого, третий — через Y8 минуты после второго и т. д. Таким образом, оказалось бы возможным, в противоречие с самой сущностью бесконечного, чисто механическим путем рассмотреть весь ряд натуральных чисел и полностью разрешить все соответствующие проблемы существования» (цит. по [219, стр. 172]).
В 50-х годах А. Грюнбаум высказал мысль, что источник «противоречия», сформулированного Зеноном, надо искать в противоречии между математическим описанием и физической реальностью. Придерживаясь понятия предельного перехода, С. Вейтлинг предлагает следующее решение парадокса: если Ахиллес «сколь угодно близко приближается к черепахе и разница в расстоянии между ними в пределе равна нулю, то ее можно принять просто равной нулю, и этот факт интерпретировать как «достижение» Ахиллесом черепахи» [см. 934, стр. 133]. С. Куан причину парадокса видит в том, что первоначальные условия, позволяющие догнать черепаху, впоследствии изменяются, и начинают неявно выдвигаться условия, уже не позволяющие ему сделать этого. К. Айдукевич полагает, что Зенон допускает подмену яонятий, понимая термин «момент» то как точку, то как промежуток времени.