«ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ЛОГИКУ» (Introduction to Mathematical logic) — труд американского математика и логика, профессора математики Принстонского университета Алонзо Чёрча, вышедший в свет в 1956 г. (рус. пер. в 1960 г.). Сам автор первый том этого труда (второй том пока еще не вышел) заду мал как учебник для высшей школы, как начальны [ курс математической логики и справочник для математиков и нематематиков. В нем излагается метод ма тематической логики, определяются ее основные понятия и категории (имя, денотат, константа, переменная, форма, функция, символ, связка, оператор, квантор и др»), формулируются основы пропозиционального исчисления, или исчисления высказываний. Все содержание книги подчинено главной идее — изучать формальную логику с помощью специально построенных формализованных языков, причем, что очень важно, автор каждый раз указывает интерпретацию (см.) определенного формализованного языка.
Интерес представляет, как автор разъясняет сущность следующего основного термина математической логики —«функции». Функцией он называет операцию, которая, будучи применена к чему-то как к аргументу, дает некоторую вещь в качестве зна чения функции для данного аргумента. Вещи, к которым функция применима, составляют область определения функции, а значения составляют область значений функция.
Из обычных языков в формальную логику перенесен и термин япредложеткя. Формальная логика имеет дело только с повествовательными предложениями. Автор принимает теорию, выдвинутую Фреге, согласно которой предложения суть имена определенного рода. В математической логике все предложения делятся на две группы: все истинные предложения обозначают истинностное значение — истину и имеют один1 и тот же денотат; все ложные суждения обозначают истинностное значение — ложь и имеют также один и тот же денотат.
Затем автор показывает, что предложения можно разложить на простые символы, дальнейшее членение которых не оправдывается содержанием. В связи с этим появляются два рода символов: собственные символы (исходные собственные и имена и переменные) и несобственные символы, которые не имеют самостоятельного содержания, но в сочетании с собственными символами образуют сложные выражения, уже имеющие самостоятельное содержание. Комбинации несобственных символов, которые в сочетании с одной или многими константами образуют новые константы, автор называет связками. Определив основные понятия формализованного языка, автор раскрывает сущность логистического метода построения такого языка. Задается словарь из исходных неделимых символов. Конечная последовательность их называется формулой. Некоторые из правильно построенных формул объявляются аксиомами. Устанавливаютсяисходные правила вывода, по которым из посылок выводится заключение. Конечная последовательность правильно построенных формул называется доказательством, если каждая правильно построенная формула является аксиомой, либо непосредственно выводится по одному из правил вывода из предыдущих правильно построенных формул последовательности. При этом автор обращает внимание на соблюдение требования эффективности: должны существовать методы, всегда позволяющие определить, является ли символ исходным или не является; правильно ли построена формула или нет; является ли данная формула аксиомой или нет и т. д.
Полностью построенным формализованный язык считается тогда, когда указана его интерпретация. Изучение чисто формальной части формализованного языка в отвлечении от интерпретации автор называет синтаксисом, а изучение интерпретации языка как интерпретации — семантикой. Логистическая система должна удовлетворять трем требованиям! 1) не должно
быть пропозициональной формыА,такой,что А иЬ-А(|----символ,
который читается: «выводимо», «доказуемо»); 2) система должна быть полной, что значит для всякой пропозициональной формы В либо 1—В, либо присоединение В к системе в качестве ее аксиомы делает систему противоречивой; 3) ни одна аксиома системы не должна быть выводима из других аксиом.
Формальную логику автор определяет как науку, которая «занимается анализом предложений или суждений и доказательств». При этом он подчеркивает, что основное внимание в ней обращается на форму в отвлечении от содержания. Поэтому, чтобы достичь наиболее положительных результатов в рассуждениях, автор считает практически необходимым употреблять для логических целей специально созданный язык, который он называет формализованным языком. В противоположность обычному языку такой язык будет следовать за логической формой и воспроизводить ее, замечает автор, даже в ущеоб краткости и легкости общения, если это будет необходимо. Главная отличительная черта формализованного языка — принятие особой теории, или системы, логического анализа, а не введение символики, как об этом думают некоторые логики.
Исследование формализованного языка автор начинает с определения наиболее распространенного типа выражения — с собственного имени, которое всегда есть или, по крайней мере, всегда является чьим-то именем. Вещь, обозначенную этим именем, автор называет денотатом. Помимо денотата каждое собственное имя имеет смысл — то, что бывает усвоено, когда понято имя; смысл — это концепт денотата. В связи с этим в книге выделяется первое требование, которое должно быть предъявлено к любому формализованному языку,— однозначность.
В формализованные языки переносится принятый в математике термин константа (собственное имя чисел). В формализованном языке термин константа язляется синонимом для выражения «собственное имя, имеющее денотат». С термином «константа», как известно, органически связан термин «перемечтая», который определяется в книге как символ, с которым связана непустая область ее возможных значений.