КОНСТРУКТИВНАЯ ЛОГИКА — одно из направлений современной математической логики, которое исходит из принципов конструктивной математики (см.) и результатов критической переработки рациональных положений интуиционистской логики (см.).
Возникновение конструктивной логики было связано в первую очередь с тем, что существовавшая в конце XIX — начале XX в. кантовская теория множеств оказалась беспомощной решить ряд противоречий (парадоксов —см.). Так, английский философ и логик Б. Рассел обратил внимание на следующий парадокс. Можно говорить о множестве объектов (напр., множестве галактик), но можно говорить и о множестве множеств (напр., множестве абстракций множества абстракций). Если первое множество не является членом самого себя (множество галактик не есть галактика), то второе множество является членом самого себя (множество множества абстракций само есть абстракция). В нервом случае множество называется собственным, а во втором — несобственным.
Допустим, что требуется составить множество всех собственных множеств (назовем его С). Но тут же перед нами возникает вопрос: каково это множество — собственное или несобственное. Если С — собственное множество, т. е. не является членом самого себя, то мы должны его включать в С. Но включение его в С превратит его в несобственное, и потому оно должно быть исключено из С. Предположим теперь, что С — несобственное множество. Тогда оно должно принадлежать к числу множеств, не содержащих себя в качестве члена, т. е. оно станет собственным множеством. Но как собственное множество оно должно быть включено в С. Оба противоречащих друг другу допущения приводят к противоречию.
Как известно, когда Г. Фреге в 1895 г. получил письмо Б. Рассела, в котором Рассел сообщал о найденном им противоречии, Фреге был настолько потрясен, что в течение последующих двух десятилетий уже не написал ни одного крупного труда, признав тем самым некорректность канторовской теории множеств.
В чем же критики канторовской теории множеств увидели недостаток ее, который привел теорию к неразрешимым в ее пределах противоречиям?
Еще за несколько лет до письма Б. Рассела Фреге немецкий математик Л. Кронекер (1823—1893) в работе «Viber den Zahlenbegriff» («О понятии числа») подверг критике канторовскую теорию множеств по вопросу о том, какой математический объект можно считать существующим. Если в канторовской теории множеств существующим считается объект, в котором нет логического противоречия, то Кронекер, признав это положение недостаточным, выдвинул тезис, согласно которому доказательство существования объекта должно опираться на метод эффективного построения интересующего нас объекта. Впоследствии основоположники интуиционистской логики Л. Э. Брауэр, Г. Вейль, А. Гейтингидр. и ограничились исследованием конструктивных объектов (см.), существование которых лишь тогда считается доказанным, когда указывается способ потенциально осуществимого построения (конструирования) этих объектов, видя в этом один из путей избавления теории множеств от возникновения парадоксов.
Другой недостаток канторовской теории множеств интуиционисты, а вспоследствии и конструктивисты, увидели в том, что она строилась на применении в рассуждениях о трансфинитных (бесконечных) множествах понятия абстракции актуальной бесконечности (см.), т. е. бесконечности завершенной, назвав ее слишком сильной идеализацией. Взамен этого вида бесконечности интуиционисты стали проводить свои исследования в рамках абстракции потенциальной осуществимости (см.), признающей незавершенную, становящуюся бесконечность, которую, следовательно, нельзя рассматривать как что-то готовое и законченное. Бесконечное множество, говорят они, бесконечно лишь в том смысле, что его можно неограниченно продолжать конструировать. Руководствоваться принципами потенциальной, становящейся бесконечности — значит отвлечься от реальных границ конструктивных возможностей сознания связанных с ограниченностью жизни человека в пространстве и времени.
Если канторовская теория множеств в рассуждениях о бесконечных множествах применяла законы и принципы, взятые из операций с конечными множествами (в частности и закон исключенного третьего, и закон снятия двойного отрицания), то интуиционисты и конструктивисты считают неправильным перенос принципов, применимых в области конечных множеств, на область бесконечных множеств. В конструктивной логике в операпиях с бесконечными множествами не применяется исклю ениого третьего закон (см.). Конструктивисты это объясняют тем, что в операциях, включающих в себя бесконечные множества, которые находятся в процессе становления, невозможно определить, какова будет последующая альтернатива. Правда, как и интуиционисты, они не отрицают применимость закона исключенного третьего по отношению к конечным областям.
Конструктивная логика основана на следующей системе аксиом: А -» (В -» А;
{А-(В-~ С)) _* ((А - В) _ (А -, С)); (А &В)^А; (А &В )-*В; А -* (А V В); В -, (А V В); А _» (В _, (А & В));
(А -С)-. ({В - С) _* ((А V В) -~ С)); (А-*В)-* ((А — В) _ А); А^(А^ В),
где А, В, С — произвольные высказывания (см.).
Исходные (атомарные) высказывания объединяются в сложные высказывания в конструктивной логике, как и в классической логике, с помощью пропозициональных связок: & — конъюнкции (см.), представляющей союз «и»; V ~~ дизъюнкции (см.), выражающей союз «или» в соединительно-разделительном смысле; —» — импликации (см.), представляющей в известном смысле союз «если..., то...» и ~~ — отрицания (см.) в виде черты сверху символа, обозначающего какое-то
высказывание. Но в отличие от классической логики (см.) в конструктивной логике пропозициональные связки не могут быть выражены друг через друга.
Но принимая некоторые положения интуиционистской логики, конструктивная логика несводима к интуиционистской логике. Конструктивисты, в особенности представители советской школы конструктивной логики, отвергают идеалистическое понимание «изначальной интуиции», согласно которому интуиция покоится на вере в «реальность божества». Так, А. А. Марков считает, что критерий «интуитивной ясности», принятый интуиционистами за единственное мерило истины, идет вразрез с пониманием науки как вида общественной деятельности и означает но что иное, как «полное торжество субъективизма».
Начало конструктивной логике положено трудами Л. Э. Брауэра, Г. Вейля, А. Гейтинга, Л. Кронекера, А. Н. Колмогорова, С. Шатуновского, Н. .Васильева и В. Гливенко и успешно развивается в советской математической школе А. А. Марковым и его учениками.