АКСИОМА (греч. axioma — значимое, достойное уважения, принятое, бесспорное) — истинное суждение (предложение), которое при дедуктивном построении какой-либо теории, в рамках замкнутой теории принимается без доказательства в качестве - сходного положения и которое кладется в основу доказательства всех других положений этой теории. В этих случаях в качестве аксиом, как правило, выставляют такие положения конструируемой теории, которые несомненно истинны, но не исключены и такие ситуации, когда избранные положения могут в пределах рассматриваемой теории считаться истинными.
Но из этого нельзя сделать вывод, что принятая в данной содержательной теории аксиома вообще введена в теорию без какого-либо первичного обоснования. Ф. Энгельс указывал, что при историческом подходе к познанию аксиомы являются не исходными началами познания, а его заключительными результатами. Эту же мысль подчеркивал и В. И. Ленин. Так, говоря об аксиоматическом характере форм умозаключений, В. И. Ленин заметил: «Практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом» [14, стр. 172]. Практика показывает, что в содержательных аксиоматически построенных математических теориях обоснование аксиом осуществляется обычно за пределами этих теорий.
В математической логике в качестве аксиом выступают всегда-истинные формулы, из которых по правилам вывода формального исчисления выводятся остальные доказуемые в этом исчислении формулы. При построении же той или иной формальной системы заранее не выставляется требование об истинности ее аксиом (в современных аксиоматических теориях аксиомы даже изобретаются). Аксиоматически построенная формальная система оказывается правомерной и полезной, если она получает интерпретацию (см.). В математической логике принято [1964] говорить: если для какой-либо совокупности объектов, их свойств и отношений некоторые аксиомы истинны, то из этого следует, что данная совокупность объектов удовлетворяет системе этих аксиом, или является интерпретацией данной системы аксиом, т. о. содержательным подтверждением ее. В тех случаях, когда из аксиом делаются выводы по правилам логики, то получаются новые суждения, истинные для любой системы объектов, удовлетворяющей данным аксиомам.
Системе аксиом должны быть присущи такие качества, как непротиворечивость (см. Непротиворечивость системы аксиом), а также иногда полнота (см. Полнота системы аксиом) и независимость (см. Независимость системы аксиом).
Термин «аксиома» применялся уже Аристотелем (384—322 до н. э.) в смысле истинного предложения или начала, не нуждающегося в доказательстве в силу фактической ясности или методологической простоты. Впоследствии ясность и простота ошибочно истолковываются рядом авторов как очевидность или наглядность. Древнегреческий математик, автор звамснптых «Начал» Евклид (3 в. до н. э.) исходил из того, что такие понятия, как «точка» и «прямая», по крайней мере интуитивно ясны каждому, а аксиомы, говорящие об этих геометрических терминах, являются самоочевидными истинами. Такое понимание аксиомы господствовало в течение многих веков. Только в середине XIX в. такая интерпретация этого понятия пачала подвергаться критике. Неудовлетворительность такого определения аксиомы заключается в том, что требование «очевидности» носит субъективный характер, так как то,* что одному кажется очевидным, для другого — очевидным не является. Правда, и в середине XX в. такого определения придерживаются некоторые философы. Так, в западногерманском «Философском словаре» [598, стр. 49] утверждается, что аксиома «не нуждается в доказательство, так как является совершенно очевидной и поэтому может служить исходным положением для других положений».
В современных формальных системах вопрос об истинности исходных положений, т. е. аксиом, выносится за пределы этих систем и относится к проблеме взаимоотношения этих систем с содержательными системами, напр., истинность формальной системы исчисления высказываний (см.) математической логики подтверждается при интерпретации ее в терминах релойно-кон-тактных схем, являющихся содержательными системами.
Существовало также мнение, будто аксиомы являются абсолютно неизменными, навсегда законченными, непреложными и абсолютно завершенными истинами. В действительности системы аксиом изменяются, совершенствуются в процессе исторического развития познания. Это ярко подтвердило построение Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии, исходя из системы аксиом, коренным образом отличающейся от евклидовой системы аксиом. Более того, аксиоматические системы, описывающие одни и те же совокупности объектов, могут строиться по-разному. В качестве аксиом в одной системе могут приниматься одни предложения, в другой — другие.
Слово «аксиома» очень часто в языке используется и для обозначения суждения, многократно проверенного на практике. В этом смысле, напр., для марксистов является аксиомой положение, что государство появляется с возникновением частной собственности и делением общества на классы угнетателей и угнетенных.
Но это положение, прежде чем приобрести аксиоматический характер, было многократно подтверждено на основании огромного исторического материала. Теперь это положение принимается марксистами без новых доказательств.
Критерием истинности аксиом в содержательных теориях является в конечном счете практическая применимость теории в целом.