АКСИОМА ВЫБОРА — аксиома теории множеств, которая формулируется так: «Если элементами множеств Т являются непустые непересекающиеся множества Е, то существует по крайней мере одно множество, содержащее по одному и только по одному элементу из каждого множества Е из Г». См. [1527, стр. 34; 1574, стр. 52—53]. Более кратко ее формулируют М. Кац и С. Улам: если задана совокупность С непересекающихся мпожеств, то можно образовать множество Z, выбрав по одному элементу из каждого множества этой совокупности.
Эта аксиома интересна тем, что с самого своего рождения она была предметом горячих дебатов, поскольку многие ее следствия выглядят парадоксально (см. [1788, стр. 77—84]). В середине 30-х годов Гёдель показал, что аксиому выбора можно рассматривать как истинную в таких формальных системах теории множеств, как система Френкеля или система Гильберта — Бер-найса, т. е. она либо доказуема в такой системе, либо является независимой по отношению к остальным аксиомам и может при желаппи быть добавленной к этой системе. В 1960 г. Поль Коэн показал, что в обычных формальных системах теории множеств аксиому выбора можно, не впадая в противоречие, считать не выполняющейся. В 1966 г. в своей книге «Теория множеств и континуум-гипотеза» он изложил доказательство независимости континуум-гипотезы и аксиомы выбора для аксиоматической теории множеств Цермело — Френкеля.