АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ — теория, построенная из конечного числа постулатов (см.) или аксиом (см.), из которых с помощью заданных логических правил вывода дедуктивно (идя от общего к частпому) могут быть получены все остальные универсально общезначимые, т. е. содержательно-истинные предложения (теоремы), сформулированные на языке данной теории. Поэтому иногда говорят, что каждая аксиоматическая теория «стоит на двух китах»: 1) на множестве исходных истинных высказываний — постулатов или аксиом и множестве доказуемых высказываний, т. е. теорем, выводимых логическим путем из аксиом, и 2) на логике, которая дает правила, по которым из аксиом выводятся теоремы. Отсюда следует, что надо знать не только аксиомы и постулаты аксиоматической теории, анализом которых обычно занимаются довольно обстоятельно, но и формальную логику, как традиционную, так и математическую.
Первичные термины, которые входят в формулировки аксиом, принимаются в аксиоматической теории без определений. Если теоремы логически правильно выводятся из аксиом, являющихся истинами, то и теоремы являются истинами, так как из истинных положений при условии соблюдения правил логики всегда получаются истинные заключения.
В формализованных и содержательных аксиоматических теориях применяются специальные научные языки. При построении формализованных аксиоматических теорий логики опираются на язык системы, который включает алфавит исходных символов, а также правила образования правильно построенных выражений (формул). С помощью этого языка обычно записываются аксиомы. Для формулировки правил вывода прибегают к так называемому метаязыку (см.). Операции с символами совершаются по таким правилам, которые предполагают учет лишь формальных свойств знаковых выражений, фигурирующих в системе.
Доказательством в аксиоматической теории считается конечная последовательность формул данной теории, каждая из которых либо является аксиомой, либо непосредственно выводится из одной или более предшествующих формул этой последовательности формул по общепринятым правилам логики. Последним высказыванием в этой конечной последовательности формул, называемой доказательством, и выступает теорема, которую необходимо доказать.
Аксиоматическая теория считается, таким образом, построенной и определенной, если выполнены следующие условия [1779]: 1) задано некоторое счетное множество символов, конечные последовательности которых называются выражениями; 2) имеется подмножество выражений, называемых формулами (теоремами); 3) имеется эффективная процедура (алгоритм), позволяющая по данному выражению определить, является ли оно формулой; 4) названо некоторое множество формул, являющихся аксиомами; 5) имеется конечное множество i?x, ..., Rn отношений между формулами, называемых правилами вывода, т. е. последовательности формул, в которой каждая формула либо аксиома, либо следствие каких-либо' предыдущих формул.
Аксиоматическая теория называется разрешимой, если в ней имеется эффективная процедура (алгоритм), решающая в рамках этой теории определенный круг проблем, и неразрешимой, если нет такого алгоритма. При этом надо иметь в виду, что аксиоматическая теория строится с таким расчетом, чтобы доказуемые формулы при логической интерпретации оказывались истинными. Содержательные и формализованные аксиоматические системы могут удовлетворять одновременно различным системам объектов, которые являются для них моделями (см.).
Аксиоматическая теория должна быть непротиворечивой, т. е. чтобы в ней нельзя было вывести теорему А и одновременно теорему Я (не-4). Теория, в которой можно вывести А и А на основании принятых в ней правил, не имеет никакой ценности, так как она не в состоянии отобразить различие между истиной и ложью. «Если мы пользуемся какой-то системой аксиом,— пишет П. С. Новиков,— то уверенность в ее внутренней непротиворечивости совершенно необходима, так как в противоречивой системе... нет различия истины от лжи. В ней можно доказывать истинность произвольных утверждений» [51, стр. 145—146].
Правда, здесь следует заметить, что вопрос о непротиворечивости формальной системы нельзя решить средствами, формализуемыми в той же системе. Как показал К. Гёдель, для доказательства непротиворечивости формальной системы надо обращаться к более сильным логическим средствам. Часто для доказательства непротиворечивости прибегают к моделированию формальной системы. Если для нее найдена модель, то это означает, что она непротиворечива. Но при этом надо иметь в виду, как правильно отмечает Р. Столл [1522], во многих случаях попытки установления непротиворечивости с помощью модели по самому своему существу имеют относительную ценность, поскольку в таких случаях предполагается непротиворечивость какой-либо ии®й теории.
Другим требованием к аксиоматической теории является требование независимости ее системы аксиом. Здесь имеется в виду независимость каждой г^сиомы,
входящей в спетому аксиом, и независимость самой системы аксиом. Отдельная аксиома считается независимой, если она невыводима из остальных аксиом, входящих в данную же систему аксиом, и если ее исключение из системы аксиом уменьшает запас теорем, в противном случае эта аксиома зависима. Независимость системы аксиом в целом складывается из независимости каждой аксиомы, входящей в систему аксиом. Система аксиом считается независимой, если исключение из нее любой из ее аксиом приводит к уменьшению запаса теорем. Недостатком зависимой системы аксиом является то, что в ней, следовательно, имеются какие-то лишние аксиомы, которые отнюдь не усиливают ее эффективности. В [1788] изложен общепринятый такой метод доказательства независимости аксиом:
Для того чтобы доказать, что аксиома А является независимой по отношению к некоторой системе аксиом S, к системе S присоединяют А (отрицание утверждения А) и пытаются найти объекты, удовлетворяющие S и А- Если это можно сделать, то система, состоящая из S и А, непротиворечива; тогда А является независимой по отношению к системе 5 и система S может быть пополнена аксиомой А.
Аксиоматическая теория является полной, если и только если все теоремы, необходимые для выполнения задачи, поставленной перед системой аксиом данной теории, могут быть получены из данной системы аксиом. Система аксиом считается непополнимой, если присоединение к ней какой-нибудь формулы всегда приводит к противоречию. Правда, непополнимость (как, впрочем и полнота) теории не считается таким же обязательным качеством теории, как непротиворечивость.