КСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — метод построения какого-нибудь раздела науки (напр., математики, математической логики, механики, термодинамики и др.) или какой-либо науки в целом, при котором из всех истинных утверждений раздела (или науки) избирается некоторое конечное подмножество (см.) из числа этих утверждений, кладется в основу раздела в качестве исходных положений — аксиом (см.), из которых затем логическим путем, посредством доказательства средствами формальной логики выводятся все остальные истинные утверждения (теоремы) этого раздела или научной теории.
Если говорить более конкретно, то первым шагом аксиоматического метода является то, что без определений принимается некоторая совокупность первичных терминов (или символов), соответствующая некоторым неспецифицированным совокупностям основных исходных объектов исследуемой области. Одновременно выводятся первичные термины и для операций и отношений, определенных для соответствующих областей носде-цифицированных объектов. Затем на основе первичных терминов формулируются аксиомы, описывающие свойства первичных операций и отношений. Из аксиом логическим путем выводятся теоремы аксиоматической теории. Новые более сложные объекты вводятся в теорию на основе первичных терминов путем явных определений. О их свойствах также доказываются соответствующие теоремы. Так, Евклид, который уже применял аксиоматический метод в своих «Началах», взял в качестве первичных терминов такие, как точка, прямая и плоскость. Принятая в наши дни аксиоматика евклидовой геометрии, предложенная Д. Гильбертом, исходит из шести первичных терминов: «точка», «прямая», «плоскость», «инцидентно», «между» и «конгруэнтно».
Аксиоматический метод имеет важнейшее значение для математики и математической логики. Известно, что в рамках аксиоматических теорий все доказуемые предложения математики (теоремы) и все доказуемые высказывания (см.) математической логики, которые также называются теоремами, получаются логическим путем с помощью правил дедукции из небольшого конечного числа исходных недоказуемых в рамках данной системы начал, называемых аксиомами. Немецкий математик и логик Д. Гильберт избрал аксиоматический метод своим основным орудием нового обоснования математики. Аксиоматический метод построения научной теории нашел применение также в механике, термодинамике, электродинамике и др.
Аксиоматический метод облегчает организацию и систематизацию научного знания, позволяет быстрее выявить внутреннюю, логическую связь между отдельными разделами теории, четко вычленяет исходные положения и положения, получаемые из аксиом, приучает к точности и строгости суждений. Самое существенное значение аксиоматического метода Г. И. Руза-вин [1522, стр. 108—1091 видит в том, что он представляет ценнейший инструмент научного исследования, отыскивания новых математических закономерностей.
Важнейшими качествами аксиоматического метода являются непротиворечивость, независимость и в ряде случаев полнота создаваемой на основе этого метода системы аксиом.
Ио применяя аксиоматический метод построения научной теории, надо иметь в виду, что од не может абсолютизироваться. Так, установление того факта, что данная аксиоматическая система является непротиворечивой, конечно, имеет большое значение в процессе выяснения истинности этой системы: наличие логического противоречия в системе разрушает ее, так как, если в системе можно одновременно вывести доказуемость утверждения А и отрицания 4, то в ней уже нельзя отличить истину от лжи. Но ведь установление непротиворечивости — это только одно из требований, предъявляемых к аксиоматическому методу. И кроме того, как доказал К. Гёдель в 1931 г., в своей теореме о неполноте формальных систем, что всякая достаточно богатая непротиворечивая формальная система непременно неполна, так как в ней можно построить некоторую формулу Ф, которая будет неразрешима в системе.
Эта теорема Гёделя выявила невозможность полной формализации мышления, а следовательно, и известную ограниченность аксиоматического метода. Если в концепции гильбертовского аксиоматического метода закон исключенного третьего (см. Исключенного третьего закон) выступает в качестве логической аксиомы (Гильберт говорил, что отнять у математиков закон исключенного третьего — это все равно, что забрать у астрономов телескоп), то в интуиционистской логике отрицается применимость его в операциях с бесконечными множествами. Если в гильбертовской концепции интерпретация (метод моделей) формальной системы в терминах содержательной системы широко используется в процессе выяснения непротиворечивости аксиоматической системы, то в конструктивной логике (см.) построенная формальная система считается корректной лишь тогда, когда указан способ потенциаль-fio осуществимого построения (конструирования) объектов формальной системы.