АЛГЕБРА — раздел математики, исследующий операции, аналогичные сложению, умножению, вычитанию и делению и выполняемые не только над числами, но и над другими математическими объектами, напр., многочленами, векторами, матрицами, операторами и т. д., над объектами самой различной природы.
Возникла алгебра в связи с требованиями общественной практики и поисками общих приемов решения однотипных арифметических задач. В основе найденных алгеброй общих приемов лежат действия над величинами (составление и решение уравнений), выраженными буквами, независимо от их конкретного числового значения. Введение символики имело исключительно важное значение и явилось огромным шагом вперед в развитии математики, так как введение буквенных обозначений сделало запись сжатой и удобной для построения исчислений. Применение буквенных обозначений облегчило и исследование общих свойств числовых систем и общих методов решения задач при помощи уравнений.
Еще в древности математики решали уравнения 1-й и 2-й степени. В конце XV в. вводятся знаки + и —,
В XVI в. были найдены решения уравнений 3-й и 4-й степени. В это же время вводится написание неизвестных величин латинскими ыаспыми буквами А, Е, I, ..., а известных величин — согласными .6, С, D,... В XVII в. пензвостпые величины начинают обозначать, как правило, с помощью последних букв латинского алфавита (х, у, z). Только в это время были приняты в алгебру отрицательные числа, хотя их применяли еще в X в. индийские математики. К середине XVII в. полностью сложился аппарат символики современной алгебры (степени., корни, скобки и т. д.). Конец XVII — начало XVIII в. прошли под знаком величайшего перелома в истории математики и естествознания в связи с возникновением дифференциального и интегрального исчисления (анализ бесконечно малых).
В конце XVIII в. была установлена основная теорема алгебры, которая означала, что всякое алгебраическое уравнение я-й степени имеет п корней (решений), действительных и мнимых, причем некоторые из них могут совпадать. В 30-х годах XIX в. Н. И. Лобачевский разработал метод для вычисления с произвольной степенью точности корней любого алгебраического уравнения.
Предмет современной алгебры выходит далеко за пределы теории уравнений. Она находит широкое применение в математическом анализе, геометрии, физике. Современную алгебру Д. К. Фаддеев в [1785] определяет как учепие об операциях над любыми математическими объектами, как учение, формирующее общие понятия и методы для всей математики. В центре внимания алгебры оказываются свойства операций, а не объекты, над которыми производятся операции. Современная алгебра исследует сложившиеся алгебраические системы, а также свойства алгебраических систем вообще на основе еще более общих понятий (fi-алгебры, модели). Предметом современной алгебры являются также исследования применения алгебраических методов к другим разделам математики и за ее пределами (топология, функциональный анализ, теория чисел, вычислительная математика, теоретическая физика и т. д.). Приложением алгебры является линейная алгебра, исследующая линейные пространства.
В середине XIX в. возникла алгебра логики (см.), исследующая сысказывания (см.) со стороны их логических значений (истинности и ложности) и логических операций над ними. Это была первая серьезная попытка решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.