ПОЛНОТА СИСТЕМЫ АКСИОМ — качество системы аксиом, свидетельствующее о том, что в ней все содержательно истинные формулы, записанные средствами языка системы, могут быть выведены по правилам логики из нее самой. Дедуктивная теория считается полной и в том смысле, если присоединение к ее аксиомам не выводимого в ней предложения при сохранении правил неизменными делает теорию противоречивой. Наличие же логического противоречия разрушает теорию, делает ее бесполезной. Полнота исчисления высказываний (см.) в первом смысле означает, что каждая тождественно-истинная формула оказывается в ней выводимой.
Полнота некоторой системы аксиом, говорят Д. Гильберт и В. Аккерман, может быть определена двояким образом. «Во-первых,— пишут они,— можно под этим понимать, что все истинные формулы некоторой содержательно характеризуемой области могут быть получены из данной системы аксиом. Но понятие полноты можно также понимать более строго, так что некоторая система аксиом называется полной только в том случае, если присоединение к ней какой-нибудь до этого не выводимой формулы всегда приводит к противоречию» [47, стр. 66].
Система полна для данной интерпретации, по С. Кли-ни [82, стр. 121], если дедуктивные постулаты (или правила преобразования) позволяют доказать в системе все истинные предложения, которые правила образования позволяют в ней выразить. П. С. Новиков говорит о полноте в узком смысле, понимая под этим следующее: «Логическая система называется полной в узком смысле, если нельзя без противоречия присоединить к ее аксиомам в качестве новой аксиомы никакую не выводимую в ней формулу так, чтобы полученная при этом система была непротиворечива» [51, стр. 214]. А. Чёрч различает логическую систему, полную относительно данного преобразования, и логическую систему абсолютно полную [5, стр. 103]. Он называет логическую систему полной относительности данного преобразования, переводящего каждое предложение А в предложение А', если для каждого предложения В либо \— В, либо присоединение В к системе в качестве ее аксиомы делает систему противоречивой относительно данного преобразования; логистическая система является полной, если для всякого предложения В либо [— В, либо присоединение В к системе в качестве ее аксиомы делает систему абсолютно противоречивой.
Но требование полноты не является обязательным для всех аксиоматических теорий. Практически полезными являются многие неполные системы аксиом. В начале тридцатых годов австрийский математик и логик К. Гёдель доказал, что существуют такие неполные формальные системы, в которых всегда имеются недоказуемые и неопровергаемые предложения. Больше того, последующими работами А. Чёрча, С. Клини, А. Тарского, А. Мостовского, П. Новикова и других была доказана невозможность полной формализации научного знания. «Стремление к полноте,— как правильно подчеркивается в [1922], — естественное стремление науки, хотя его «абсолютная реализация» представляется скорее недостижимым идеалом, к которому можно лишь приближаться. Этот идеал, во всяком случае, недостижим не только в опытно-экспериментальных науках (опыт всегда незавершен), но и во многих дедуктивно-математических областях...»
В вычислительной технике [1784] под логической полнотой понимают способность системы элементов реализовать любую функцию алгебры логики (см.). Понятие логической полноты связано здесь с понятием функционально полных (базисных) систем алгебры логики (напр., конъюнкции и отрицания, дизъюнкции и отрицания (см.) и т. д.).