ЭФФЕКТИВНЫЙ ПРОЦЕСС, или ЭФФЕКТИВНАЯ ПРОЦЕДУРА (лат. effectivus — действенный) — предписание, намечающее последовательность преобразований, которые надо применять одно за другим к каждому элементу какой-то данной операции, чтобы прийти к единственно правильному решению. В качестве примера эффективных процессов американский логик X. Карри приводит нормальные алгоритмы (см.) А. А. Маркова.
Эффективный процесс называют также эффективным методом, который, согласно [1765], состоит в указании системы материально выполнимых действий, реализующих возможность (с заданной степенью точности) решать конечной последовательностью испытаний (шагов) задачи из некоторого класса научных задач. В понятии эффективной процедуры один из крупнейших специалистов по теоретической кибернетике, М. Минский [1780], видит мощное средство исследования больших и сложных систем — будь это разум или технические системы, средство, необходимое не только для доказательства некоторых утверждений о свойствах сложных систем, но и для доказательства и утверждений о свойствах самих доказательств. Он утверждает, что любая процедура, которую было бы «естественно» назвать эффективной, фактически может быть реализована машиной. Правда, Э. Мендельсон в [1779] вносит некоторое уточнение по этому поводу. Он советует иметь в виду, что эффективная вычислимость вовсе не подразумевает фактическую вычислимость, ибо она означает лишь, что каждое значение эффективной вычислимости функции может быть вычислено в некоторое конечное число шагов, согласно некоторому фиксированному предписанию.
Понятие эффективности, как считает О. Ф. Серебрянников, является идеализацией соответствующих естественнонаучных представлений, которая связана с такими абстракциями, как абстракция отождествления (см.) и абстракция потенциальной осуществимости (см.). Первая абстракция состоит в отвлечении от различий между графически равными выражениями, когда экземпляр какого-нибудь выражения рассматривается в качестве полноценного заменителя любого другого экземпляра того же выражения. Вторая абстракция заключается в отвлечении от практических границ наших конструктивных возможностей, когда, напр., не указывается никаких верхних границ для длины формул и выводов в формализованных языках.
ЭСПЕРАНТО (в переводе по-русски с языка эсперанто — «надеющийся») — искусственный вспомогательный международный язык, созданный варшавским врачом-окулистом Л. Л. Заменгофом (1859—1917) на основе западноевропейских языков (проект этого языка «Lingvo internacia» он опубликовал под псевдонимом «д-р Эсперанто»). По сравнению с появившимся в 1880 г. первым искусственным международным языком — воляпюком (см.) язык эсперанто отличался большей логичностью в построении и крайней простотой грамматики, которая была сведена к полутора десяткам правил. Части речи различались лишь одним окончанием: в именах существительных к основе прибавлялась буква о, в прилагательных — а, множественное число выделялось наращением буквы /, единственная флексия — п выражала винительный падеж, глаголы имели всего три простых времени и в каждом из них — по одному окончанию : —as, — is, —os; крайне упрощен был и словарь. В ответе на письмо нескольких эсперантистов, просивших выразить мнение об эсперанто, Л. Н. Толстой в 1894 г. писал: «Воляпюк показался мне очень сложным. Эсперанто же, напротив, очень легким, каким он и должен показаться всякому европейскому человеку (Я думаю, что для всемирности в настоящем смысле этого слова, т. е. для того, чтобы соединить китайцев, африканских народов и пр..понадобится другой язык...» [1955]. В 1888 г. было основано первое общество эсперантистов, а через год начал выходить журнал «Эсперантисто». В 1908 г. на IV конгрессе эсперантистов была основана Всеобщая Эсиеранто-ассоциация (VEA). На эсперанто во всем мире издается около 100 периодических журналов и газет. Краткие учебники эсперанто изданы на 40 языках. На эсперанто в ряде стран ведутся трансляции по радио
ЭПИКУР (341—270 до н. э.) — греческий философ-материалист и атеист. Историки логики предполагают, что он написал до 300 сочинений, от которых до нас дошли лишь фрагменты. Об отдельных идеях эпикурейского учения можно узнать по книгам Диогена Лаэрция и Лукреция Кара. Так, Диоген Лаэрций сообщает, что Эпикур написал сочинение под названием «Канон», в котором рассматривает вопросы теории познания и логики. К сожалению, оно не дошло до наших дней.
На первом месте в философии Эпикур ставил канонику — теорию познания и логику; вторая часть — физика, третья — этика. В теории познания он стоял на позициях сенсуализма (см.). Никаких врожденных идей нет. Источник знаний — ощущения, которые возникают под воздействием непрерывного потока тонких слоев атомов, мельчайших частиц («идолов»), исходящего от вещей реального мира. Ощущения не могут обманывать, так как они являются естественным продуктом материального процесса. Ошибка возможна лишь в умозаключениях, возникающих на основе данных, полученных в ощущении. Искажения возможны и тогда, когда атомы, отделяющиеся от вещей, во время своего пути к органам чувств под каким-либо воздей* ствием меняют первоначальный строй, как бы перепутываются меж собой. Но если вновь обратиться к показаниям ощущений, то можно убедиться в истинности или ложности умозаключения. Напр., предположение о прочности какой-либо вещи подтверждается вторичной проверкой ее на изгиб, сжатие и т. п. Если же этого недостаточно, то надо сопоставить вывод умозаключения с природными родовыми понятиями («пролеп-сис»), которые образуются естественным путем у всех людей на основе обобщения сходных единичных восприятий внешних предметов. Эти понятия всегда и у всех людей истинны и потому могут служить критерием истинности умозаключения.
В логике Эпикура, по мнению А. О. Маковельского [528, стр. 196], рассматривался закон тождества. Понятия должны строго фиксироваться в словах, которые должны отличаться определенностью и постоянством значений. Закон противоречия понимался им как законт запрещающий противоречить фактам чувственного опыта.
Будучи номиналистом, Эпикур признавал существование одних единичных вещей и отрицал существование общего в вещах. Поэтому в учении об умозаключениях он основное внимание уделяет не категорическому силлогизму, как это было у Аристотеля, а индукции и аналогии.
ЭНТИМЕМА — сокращенный силлогизм, в котором выпущена одна из подразумевающихся частей. Силлогизм, как известно, состоит из трех частей, а именно: из большей и меньшей посылок и из вывода. Но в полном виде силлогизмы применяются сравнительно редко. Обычно силлогизм употребляется в сокращенном виде, когда та или иная часть умозаключения не высказывается, а только подразумевается.
В повседневной речи мы чаще всего пользуемся сокращенными силлогизмами. Иногда говорят так: «Молдавская ССР —• союзная республика; следовательно, она имеет свою конституцию». В данном случае упущено общее суждение «Все союзные республики имеют свою конституцию», которое должно было быть в большей посылке. Таков первый вид сокращенного силлогизма, когда выпущена большая посылка.
Несколько реже, но все же употребляется силлогизм, в котором выпущена меньшая посылка. В качестве примера такого сокращенного силлогизма можно привести следующее умозаключение:
«всякое ремесло полезно; следовательно, слесарное дело полезно».
Здесь выпущена и подразумевается меньшая посылка — «слесарное дело — ремесло».
Но можно выпустить не только одну из посылок, а также и заключение. Еще древнеиндийский логик Дхармакирти (VII в.) приводил такой силлогизм, в котором заключение словесно не выражено: Где нет огня, нет и дыма; а в данном месте дым есть.
Здесь выпущено и подразумевается заключение: «следовательно, в данном месте есть и огонь».
Подобные сокращенные силлогизмы употребляются во всех случаях, когда не требуется лишний раз высказывать всем известные истины. Аристотель (384—322 дон. э.) называл энтимему испытанным приемом логического убеждения в риторике. Объясняется это тем, что аудитория не всегда может скрупулезно следить за ходом аргументации оратора, п потому оратор использует энтимему. Речи, паполненные примерами, говорил Аристотель в «Риторике», убедительны, но «более впечатления производят речи, богатые энтимемами».
Как правильно заметил один английский логик, если иногда и встречается полный силлогизм, то он имеет вид щегольства логической точностью и правильностью. В средние века в английских университетах проводились такие публичные диспуты, на которых одна часть студентов" доказывала свои положения формальными строгими силлогизмами, а другая — опровергала их точно такими же силлогизмами. В самом деле, зачем в процессе доказательства того положения, что химия полезна, как так химия есть наука, восстанавливать еще и то положение, что «все науки полезны». Это известно каждому здравомыслящему человеку. Поэтому большую посылку можно вполне выпустить. Высказывание, не теряя ясности, становится более лаконичным. Чаще всего поэтому пропускается большая посылка, так как в ней, как правило, содержится общее суждение, которое обычно выражает известную всем истину.
Б первой фигуре простого категорического силлогизма (ем.) может опускаться как первая, так и вторая посылка. Большая посылка в этой фигуре опускается в тех случаях, когда общее положение ясно каждому. Так, мы говорим: комета есть небесное тело, следовательно, она подчиняется закону всемирного тяготения. В этой энтимеме первой фигуры выпущена большая посылка: все небесные тела подчиняются действию закона всемирного тяготения.
Но можно опустить и меньшую посылку. Так, мы говорим: все небесные тела подчиняются действию закона всемирного тяготения, а следовательно, и комета подчиняется действию закона всемирного тяготения. В этой энтимеме опущена меньшая посылка, понятная без особого о ней напоминания: комета — небесное тело.
Во второй фигуре простого категорического силлогизма (см.) также могут опускаться как большая, так и меньшая посылка. Так, мы говорим: религия основана на вере, следовательно, она не есть наука. В этой энтимеме опущена большая посылка: наука не может быть основана на вере. Но можно опустить и меньшую посылку. Так, мы говорим: все науки основаны на знании закономерностей материального мира, следовательно, религия не есть наука. Здесь выпущена меньшая посылка: религия не основана на знании закономерностей материального мира.
Надо сказать, что сокращение второй фигуры значительно труднее, чем первой. Собеседнику не всегда ясна опущенная посылка. Поэтому сокращение силлогизма второй фигуры должно производиться более осмотрительно. Ведь если собеседник не уловит опущенной посылки, то для него неясен будет и вывод .
Еще более внимательным надо быть при сокращениях в третьей фигуре простого категорического силлогизма (см.). Эту операцию можно производить только при исключительных обстоятельствах. Дело в том, что от собеседника требуется большая сообразительность, чтобы восстановить в уме недостающую посылку. Приведем такой пример: Демокрит жил в V в. до и. э., следовательно, некоторые люди, жившие в V в. до н. э., были материалистами. Но, как видно, в этом умозаключении ощущается недостаток опущенной посылки: Демокрит был материалистом.
В четвертой фигуре простого категорического силлогизма (см.) никакие сокращения посылок не возможны.
Можно сократить и условно-категорический и разделительный силлогизмы (См.). Правда, здесь, в отличие от категорического силлогизма, меньше возможностей, так как опустить можно только большую посылку. Напр.: «Данный треугольник непрямоугольный и нетупоугольный; следовательно, он — остроугольный»; здесь опущена большая посылка: «Треугольники бывают или остроугольные, или прямоугольные, или тупоугольные». Это— энтимема разделительного силлогизма. Другой пример: «Медь подвергнута трению, следовательно, она нагревается»; здесь опущена большая посылка: «Если медь подвергнута трению, то она нагревается». Это — энтимема условно-категорического силлогизма.
Обратив внимание на то, что энтимемы «почти неизбежны», современный математический логик С. Клини справедливо пишет, что «без них существенно замедлился бы обмен мыслями, сделавшись невыносимо скучным. С полным правом можно опускать то, что очевидно. В противном случае наши слушатели разбегутся. Есть такие посылки, которые очевидны в данном доводе потому, что они хорошо известны и общеприняты, или потому, что мы о них уже только что говорили. Обратно, если действительно можно опустить какую-либо посылку без ущерба для ясности, то оставшаяся часть доказательства должна более или менее сразу подсказывать, что именно подразумевается. Поэтому можно ее подразумевать молча» [1963, стр. 86].
ЭМПИРИЧЕСКОЕ ЗНАНИЕ (греч. empeiria — опыт) — знание, полученное на основе опыта, результаты которого трансформируются в виде разной степени первоначальных обобщений с помощью прежде всего таких умозаключений, как индукция (см.) и аналогия (см.). Поскольку выводы по индукции (за исключением таких ее видов, как полная индукция (см.) и научная индукция (см.)) и по аналогии только вероятны, эмпирическое знание, будучи совершенно необходимой ступенью знания, ибо все наши знания возникают в конечном счете из опыта, все же недостаточно для познания глубоких внутренних закономерностей возникновения и развития исследуемого объекта, оно одно не может обеспечить достоверность вывода. Эмпирическое знание дополняется рациональным знанием, которое на всех ступенях познавательного процесса действует в единстве с эмпирическим знанием и которое применяет в ходе исследований понятийный аппарат, зафиксировавший накопленные ранее знания и более мощные методы и средства познания. Рациональное знание трансформирует результаты, полученные человеком на чувственной ступени познания, в более глубокие обобщения, вскрывая сущности первого, второго и т. д. порядков, закономерности возникновения, развития и изменения рассматриваемого объекта.
Роль и место эмпирического знания в познавательном процессе, его взаимоотношение с рациональным знанием рассматривались по-разному на отдельных этапах развития общественной практики и науки. В XVII—XVIII вв., когда шло количественное накопление знаний о природе, эмпирическое знание считалось единственным источником науки, теории. Так, английский философ-материалист Фр. Бэкон (1561 — 1626) отстаивал принцип, согласно которому индукции вполне достаточно для постижения сущности вещей. Это оказало положительное влияние на науку того времени, так как помогало обоснованию материализма и борьбе против бесплодной схоластики и теологии. Причем надо отдать должное, Бэкон все же еще не отрывал эмпирическое знание от рационального. Он критиковал односторонних эмпириков, которые уподоблялись муравью, и только собирали случайно встречающиеся факты. Но Бэкон не был согласен и с чистыми рационалистами, которых он называл догматиками: они напоминали ему паука, вытягивавшего паутину мыслей из своего ума. Чтобы принести пользу на стезе науки, надо, говорил английский материалист, взять пример с пчелы, которая собирает сок с отдельных цветов и с помощью своей способности преобразует его в мед. Наука, по Бэкону, как заметил К. Маркс— «опытная наука и состоит в применении рационального метода к чувственным данным» [619, стр. 142].
Но после Бэкона возобладала переоценка эмпирического знания, что вскоре привело к принижению и даже игнорированию рационального познания. О том, во что это вылилось, Ф. Энгельс показал на примере тогдашней науки об электричестве, которая превратилась в «хаотическую груду старых, ненадежных экспе-риметов», в какое-то «неуверенное блуждание во мраке, не связанные друг с другом исследования и опыты многих отдельных ученых... в этой области господствует
односторонняя эмпирия, та эмпирия, которая сама, насколько возможно, запрещает себе мышление, которая именно поэтому не только мыслит ошибочно, но и оказывается не в состоянии верно следовать за фактами или хотя бы только верно излагать их и которая, таким образом, превращается в нечто противоположное действительной эмпирии» [16, стр. 434].
В середине XIX в. в буржуазной философии позитивистские направления и близкие им по духу — махизм, прагматизм и др., также пытались изобразить познавательный процесс как чисто эмпирическое описание отдельных фактов и игнорировать рациональное знание. Как известно, это привело их не только к отрицанию теоретического мышления, но и к агностицизму (см.) и отказу от философии.
Единственно правильное решение проблемы взаимоотношения эмпирического знания и знания рационального, их места и роли в познавательном процессе дал диалектический материализм. Преодолев ограниченность как метафизического эмпиризма, так и идеалистического эмпиризма, диалектический материализм показал, что источником познания является чувственный опыт. Но познание сущности, закономерностей развития предметов и явлений реальной действительности достигается посредством разума, перерабатывающего данные, полученные на чувственной ступени познания. Эмпирическое п рациональное — это две неразрывно связанные стороны единого мыслительного процесса. Связь чувственных образов эмпирического знания и понятийного аппарата рационального знания осуществляется в процессе общественно-производственной деятельности людей. «Эмпирическое наблюдение само по себе,— пишет Ф. Энгельс,— никогда не может доказать достаточным образом необходимости. Post hoc, но не propter hoc... Это до такой степени верно, что из постоянного восхождения солнца утром вовсе не следует, что оно взойдет и завтра, и действительно, мы теперь знаем, что настанет момент, когда однажды утром солнце не взойдет. Но доказательство необходимости заключается в человеческой деятельности, в эксперименте, в труде: если я могу сделать некоторое post hoc, то оно становится тождественным с propter hoc» [16, стр. 544]. Известно, что неполная индукция (см.) в заключении не дает достоверных выводов, а только приблизительные, вероятные, так как они базируются на наблюдении далеко не всех предметов данного класса, но, как правильно замечает И. Нарский, «присущая неполной индукции недостоверность преодолевается общественно-исторической практикой при достаточно большом количестве случаев».
ЭМПИРИОКРИТИЦИЗМ (греч. empeiria — опыт, kritike — критика) — реакционное субъективно-идеалистическое философское направление, возглавлявшееся австрийским физиком и философом Э. Махом (1838— 1916) и швейцарским философом Р. Авенариусом (1843—1896). Эмпириокритики отрицают объективное существование материального мира и рассматривают вещи как «комплексы ощущений». Критика ими обычного понимания опыта сводится к тому, чтобы «очистить» его от понятий причинности, необходимости, материи, как «незаконно» привносимых в опыт. Эмпириокритицизм подвергнут критике В. И. Лениным в книге «Материализм и эмпириокритицизм». В. И. Ленин вскрыл реакционную социальную роль эмпириокритицизма, показал, что учение эмпириокритиков о принципиальной координации, согласно которому, объективный мир не может существовать без некоторого «я», есть субъективный идеализм. Ленин выступил и против метафизического отождествления ощущений со свойствами объектов и против агностического отрыва их. Эмпириокритицизм был разновидностью позитивизма. Эмпириокритиками были также И. Петцольдт, А. Богданов, В. Базаров и др.
ЭМПИРИЗМ (греч. empeiria — опыт) — философское учение, признающее чувственный опыт единственным источником наших представлений, идей, понятий, знаний. Эмпирики-идеалисты сводят опыт к совокупности наших ощущений, которые ничего реального не отображают. Эмпирики-материалисты считают, что чувственный опыт возможен только как результат воздействия реального мира вещей на органы чувств.
Марксистский философский материализм рассматривает учение эмпириков-материалистов о чувственном опыте как односторонне-механическое. В отличие от эмпириков-материалистов домарксовского периода, недооценивавших значения теоретического мышления, марксистский философский материализм учит, что познание начинается с чувственных ощущений, восприятий и представлений в процессе практической деятельности, но чувственные образы — это только начальная ступень познания. Познание существенного, закономерного в явлениях достигается на второй ступени, при помощи абстрактного мышления.
Процесс познания есть единство чувственной и логической ступеней незнания. «Мышление,— говорит Ленин,— восходя от конкретного к абстрактному, не отходит — если оно правильное... от истины, а подходит к ней. Абстракция материи, закона природы, абстракция стоимости и т. д., одним словом, все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее. От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности».
ЭМОЦИИ (лат. emoveo — возбуждаю, потрясаю, волную) — реакция человека и животных на воздействие раздражителей из внешней или внутренней среды, проявляющаяся в виде чувства удовольствия или неудовольствия, радости, печали, страха, восторга, гнева, грусти и т. п., которые являются сигналами, позволяющими организму легче ориентироваться в жизненных ситуациях. «Воздействия внешнего мира на человека,— пишет Ф. Энгельс в «Людвиге Фейербахе...», — запечатлеваются в его голове, отражаются в ней в виде чувств, мыслей, побуждений, проявлений воли, словом — в виде «идеальных стремлений», и в этом виде они становятся «идеальпыми силами»» [1959, стр. 290].
Характер эмоций определяется спецификой воздействующих на организм объектов, но преломляться они могут неодинаково в различных организмах (что одному доставляет удовольствие, то для другого может обернуться неудовольствием). В эмоциях проявляется личностное отношение человека к предметам и явлениям внешнего мира и к самому себе.
Простейшие эмоции являются врожденными. Они присущи и животным. Высшая ступень в развитии эмоций, характерная для человека, отличается тем, что основным содержанием эмоционального процесса на этой ступени становятся социальные, интеллектуальные и эстетические факторы. Человеческие эмоции возникают и развиваются в процессе общественно-производительной и познавательной деятельности.
Различают [1945] две основные функции чувств: регулирующую (направляющую поведение человека) и сигнальную (выразительные движения). Физиологической основой чувств являются нервные возбуждения подкорковых центров и физиологические процессы, происходящие в вегетативной нервной системе. Ведущую роль в эмоциях и чувствах играет кора больших полушарий головного мозга человека.'Значение эмоций и чувств в жизни человека огромно. Без «человеческих эмоций», писал В. И. Ленин в рецензии на труд «Среди книг» Н. А. Рубакина «никогда не бывало, нет и быть не может человеческого искания истины».
ЭЛИМИНАТИВНАЯ ИНДУКЦИЯ (лат. eleminatio— исключение, удаление) — такой вид индукции (см.), когда, согласно Б. Н. Пятницыну и А. Л. Субботину [1839, стр. 46—59], выборка случаев осуществляется на основе предположения, что сходство их устанавливается в условиях максимального разнообразия или варьируемости элементов исследуемого класса. Общее может стать объектом индуктивного обобщения только при условии, что оно сохраняется в максимально отличных друг от друга проявлениях одного и того же случая и исчезает с исчезновением этого случая или изменяется с его изменением. В начале исследования берется несколько конкурирующих гипотез, которые в процессе индуктивного анализа постепенно исключаются в конечном итоге в пользу какой-либо одной гипотезы. Вероятность интерпретируется не как частота, т. е. не статистически, а как «степень разумной уверенности» или методологической обоснованности. Из двух сравниваемых положений более вероятным считается то, которое лучше обосновано.
«ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ» — сочинение П. С. Новикова, вышедшее в свет в 1956 г. и являющееся первым учебным пособием по математической логике на русском языке и представляющее собой запись лекций автора книги по математической логике, прочитанных на механико-математическом факультете МГУ и подготовленных к печати его учеником. Современное развитие математической логики автор связывает с эволюцией аксиоматического метода, нашедшего широкое распространение в математике. В этой эволюции П. С. Новиков выделяет два этапа: 1) от трудов русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) до работ немецкого математика и логика Д. Гильберта (1862—1943) по основаниям математики (см. «Основания геометрии», добавления VI—X, 1899) и 2) от этих работ Д. Гильберта до наших дней. Второй период в развитии аксиоматического метода П. С] Новиков характеризует как «соединение идей, идущих из геометрии, с развивающимся параллельно учением, известным под названием «символической», или «математической» логики. В результате возникла новая дисциплина, сохранившая название математической логики» [51, стр. И].
Прежде чем изложить основы математической логики, П. С. Новиков рассматривает вкратце предшествующее ей состояние аксиоматического метода, причины возникновения его и стоящие перед ним задачи. Сущность аксиоматического метода он усматривает в своеобразном способе определять математические объекты и отношения между ними. Так, изучая систему каких-то объектов, исследователь употребляет определенные термины, выражающие свойства этих объектов и отношения между ними. При этом он не определяет ни самих объектов, ни этих свойств и отношений, но высказывает ряд определенных утверждений, которые должны для них выполняться. Эти утверждения, посредством которых выделяется совокупность объектов, носят названия аксиом.
Если для какой-либо совокупности объектов, их свойств и отношений некоторые аксиомы истинны, то говорят, что данная совокупность объектов удовлетворяет системе этих аксиом, или, пишет П. С. Новиков, является интерпретацией данной системы аксиом. Затем получается возможность: делая логические выводы из аксиом, получать утверждения, справедливые для любой системы объектов, удовлетворяющей данным аксиомам.
При этом необходимо иметь в виду, что соответствие между аксиомами и предметами реальности, подчеркивает П. С. Новиков, всегда имеет приближенный характер. Когда возникает вопрос — удовлетворяют ли реальные объекты аксиомам,— тогда предварительно необходимо дать физические определения терминов, содержащихся в аксиомах, т. е. указать те физические обстоятельства, которые этим терминам соответствуют. Когда это проделано, тогда аксиомы превращаются в физические утверждения, которые можно подвергнуть экспериментальной проверке, после чего можно ручаться за истинность утверждений с той степенью точности, какую обеспечивают измерительные приборы.
Таково существо аксиоматического метода. Но при рассмотрении любой системы аксиом возпикает ряд вопросов, которые, в частности, могут решаться и с помощью интерпретации. П. С. Новиков указывает на два из этих вопросов — вопрос оиепроти-воречивости системы аксиом (см.) и вопрос о независимости аксиом (см.).
Появление противоречия означает, что рассматриваемой системе аксиом не может удовлетворить никакая система объектов, т. е. эти аксиомы ничего не описывают. Для того, чтобы доказать независимость какой-либо аксиомы,— а аксиома называется независимой в данной системе аксиом, если она невыводима из остальных аксиом этой системы,— надо найти систему объектов, удовлетворяющую всем аксиомам, кроме исследуемой, и не удовлетворяющей этой последней.
Указав на то, что интерпретации систем аксиом черпаются из круга математических понятий, П. С. Новиков полагает, что «самым мощным источником интерпретаций» для всевозможных систем аксиом является теория множеств (см.), которая оказала огромное влияние на математику. Но уже в самом начале возникновения теории множеств, говорит П. С. Новиков, было замечено, что пользование без всяких ограничений создаваемыми ею понятиями приводит к противоречию. Дело в том, что математическая логика, развивавшаяся до Гильберта, основывала теоретико-множественные построения на абстракции «актуальной бесконечности» (см.), под которой понимается бесконечная совокупность, построение которой завершено и элементы которой представлены одновременно. В классической математической логике, привлекающей абстракцию актуальной бесконечности, на понимание бесконечности распространяются некоторые логические принципы, которые являются совершенно бесспорными в области конечного (напр., целое больше части, исключенного третьего закон— см). Понятие «актуальной бесконечности» носит идеализированный характер, поскольку осуществить построение бесконечного числа объектов невозможно, но этим понятием математическое мышление пользуется.
Но идея актуальной бесконечности, говорит П. С. Новиков, не снимает всех трудностей, возникающих перед теорией множеств (напр., парадоксы теории множеств). Противники идеи актуальной бесконечности называют полятие «актуальной бесконечности» логически противоречивым, ибо, говорят они, завершенная, бесконечная величина конечна, а не бесконечна.
Выход из создавшихся затруднений был найден Гильбертом, предложившим конструктивный (генетический) метод построения научных теорий. Он применил в процессе исследования идею потенциальной бесконечности (см.), под которой понимается множество, способное неограниченно возрастать или убывать. Смысл этого понятия П. С. Новиков определяет так: рассматривается бесконечное множество осуществимых возможностей; каждая из них в отдельности осуществима, осуществимо также любое конечное число этих возможностей, но все вместе они неосуществимы.
Применение конструктивного метода явилось переломным моментом в развитии логики. Возникшая на этой основе конструктивная логика (см.), разработанная в трудах Л. Брауэра, Г. Вейля, А. Гейтинга, А. Н. Колмогорова, А. А. Маркова, П. Ло-ренцена, представителем которой является П. С. Новиков, запрещает переносить на бесконечные множества законы, действующие в пределах конечных множеств. Так, из общих логических принципов в конструктивной логике устраняется закон исключенного третьего, но сохраняются все остальные логические принципы и, в частности, закон противоречия (см.Противоречия\закон). Если классическая математическая логина исходит иэ так называемых «чистых теорем существования», принимающих существование объектов с такими-то свойствами и не интересующихся способами построения объектов, то конструктивная логика считает доказанным существование объекта с данными свойствами лишь тогда, когда указывается способ построения (конструирования) объекта. Конструктивными объектами могут быть как конкретные, так и абстрактные предметы. Они строятся (конструируются) индуктивно. Само понятие конструктивного объекта не определяется, а лишь поясняется.
Книга П. С. Новикова «Элементы математической логики» состоит из шести глав. В первой главе излагается алгебра высказываний (см.). Высказывания рассматриваются как предложения, которые удовлетворяют закону исключенного третьего и закону противоречия, т. е. каждое высказывание или истинно, или ложно, и не может быть одновременно и истинно и ложно. Высказывание имеет только одно свойство: оно представляет собой или истину, или ложь. Во второй главе, названной «Исчисление высказывании», алгебра высказываний изложена в виде аксиоматической системы, а в первой главе было дано содержательное описание этой алгебры.
В третьей и четвертой главах рассмотрена другая логическая система, которая называется логикой предикатов (см.). Причем опять в третьей главе логика предикатов изложена содержательно, а в четвертой главе — в виде аксиоматического исчисления. Логика предикатов представляется как развитие алгебры вы оказываний. Она включает в себя всю алгебру высказываний (ее операции и формулы) и кроме того высказывания, отнесенные к предметам. В логике предикатов уже имеется расчленение высказываний на субъект и предикат, чего не было в алгебре высказываний. Дается определение кванторов общности и существования.
В пятой главе излагается аксиоматическая арифметика, в шестой главе — методы теории доказательства, посредством которых решаются некоторые вопросы математической логики, возникающие в первых пяти главах.