НЕОПРЕДЕЛЕННОСТНАЯ ЛОГИКА — такая логика, которая, по изложению Б. Н. Пятницына и А. Л. Субботина [1839, стр. 62—64], включает в себя высказывания, принимающие или совмещающие несколько различных значений истинности (см. Истинностное значение). Если в двузначной логике (см.) высказывания могут принимать значения «истинно» и «ложно», то в ге-значной логике — высказывания могут совмещать т различных значений истинности (где т ^ п). Так, в практике научного мышления, особенно эвристического (см. Эвристика), встречаются такие рассуждения, в которых посылки имеют определенные значения истинности и неопределенные по своему значению истинности заключения. В качестве одного из способов построения неопре-деленностной логики Б. Н. Пятницын и А. Л. Субботин приводят, напр., следующий. Имеется формальная система, семантически полная относительно некоторой содержательной интерпретации (см.), но не полная в узком синтаксическом смысле, т. е. в ней сохраняется логическая непротиворечивость при присоединении к ее аксиомам некоторых невыводимых в ней формул. Затем к аксиоматике такой системы присоединяются в качестве новых аксиом некоторые невыводимые в ней формулы или новые правила вывода, расширяющие класс выводимых формул системы. При этом следяг за тем, чтобы такая расширенная система не стала логически противоречивой, т. е. чтобы в ней не оказались выводимыми все правильно построенные формулы, т. е. формулы, которые, по выражению X. Карри [1527], исчерпывают все выражения, играющие сколько-нибудь заметную роль в системе. В получившейся расширенной системе логики могут оказаться формулы, которые синтаксически выводимы, но вместе будут семантически ложны в заданной интерпретации. Вот таким образом построенную формальную систему Б. Н. Пятницын и А. Л. Субботин и называют неопре-деленностной логикой.

НЬЮТОН (Newton) Исаак (1642—1720)—английский физик, астроном и математик, открывший закон всемирного тяготения и три закона движения: закон инерции, закон пропорциональности силы и ускорения, закон равенства действия и противодействия. Им, одновременно с Лейбницем и независимо от него, сформулированы основные положения дифференциального и интегрального исчисления и указан взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. Важность этого открытия заключалась в том, что оно неизмеримо расширило область использования математики в естествознании и технике. Характеризуя значительность этого открытия, Ф. Энгельс писал в «Диалектике природы»: «Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение» [16, стр. 587]. Ньютон одним из первых предпринял попытку выразить закономерности природы в лаконичных и строгих математических формулах.
В области логики Ньютон был сторонником применения в научных исследованиях индуктивного метода, разработанного английским философом Френсисом Бэконом, и всегда советовал опираться прежде всего на данные опыта. Ньютону принадлежит фраза: «Гипотез я не выдумываю» («Hypotheses non fingo»). На этом основании некоторые авторы книг об английском мыслителе сделали поспешный вывод, будто Ньютон вообще отрицал роль гипотез в научном знании. Но это не соответствует действительности. Будучи сам автором многих гипотез, он не отрицал роли гипотез, но порицал измышления пустых гипотез, оторванных от эмпирии, от опыта и пытающихся без всяких на то оснований подчинить себе природу.
Ньютон много времени уделил разработке проблем пространства и времени. Но здесь результаты его научных исследований не были столько значительными, как в области опытной физики. Будучи механическим, стихийным материалистом, английский ученый оторвал пространство, время и движение от материи, которой он отказал в самом главном — в самодвижении. Он полагал, что есть какое-то абсолютное пространство, существующее само по себе и всегда и всюду одинаковое и неподвижное. Такое пространство он представлял себе в виде некоего вместилища для материи. Но независимо от материи, утверждал Ньютон, пребывает и время, которое всюду и всегда течет равномерно. Последующее развитие науки показало несостоятельность метафизического взгляда на пространство и время. Пространство и время — это формы существования материи. Они объективны. Нет никакой вневременной и внепространственной действительности. Материя, время и пространство неотделимы.

НУЛЕВАЯ ГИПОТЕЗА _ термин, введенный Р. Э. Фишером и используемый в статистике (см. [1866]) при проверке гипотез. Кратко термин нулевая гипотеза записывается так: На. Этот термин применяется тогда, когда надо решить вопрос: 1) о близости фактического распределения к теоретическому (нормальному); 2) об отсутствии существенных различий между выборочными совокупностями. Если при проверке нулевой гипотезы устанавливается неопровержение нулевой гипотезы, то это еще не означает ее подтверждения, а говорит лишь о том, что нулевая гипотеза остается неопровергнутой данными наблюдения. При этом указывается, что в основу проверки нулевой гипотезы должно приниматься соображение о практической неосуществимости маловероятных событий. В том случае, когда вероятность достижения критерием согласия данной величины очень мала « 0,05), то это свидетельствует о существенном различии между выборочными совокупностями и нулевая гипотеза опровергается, когда же эта вероятность достаточно велика (>0,05), то вопрос о существенности различий остается без ответа.

НОМИНАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ (лат. definitio nominalis) — объяснение значения слова, имени или термина, обозначающего данное понятие. Так, в номинальных определениях семантического характера указывается предмет, обозначаемый вновь созданным термином. Напр., «Стратиграфия есть термин, обозначающий отрасль геологии, изучающую напластования осадочных пород и относительный возраст каждого слоя». Номинальное определение противополагается реальному определению (см.), или определению самого понятия.
Возможно также номинальное определение путем разъяснения интересующего нас термина с помощью других, более знакомых и потому более понятных слов, напр.: «телескопом называется инструмент, служащий для рассматривания небесных тел». С помощью поминального определения вводится новый термин как сокращение для другого выражения и устанавливается значение вновь вводимого в теорию знака, слова, выражения. См. [176, стр. 300].
Номинальное определение можно превратить в реальное определение. Тогда определение понятия «стратиграфия» будет звучать так: «Стратиграфия есть отрасль геологии, изучающая напластования осадочных пород и относительный возраст каждого слоя».

НОМИНАЛИЗМ (от лат. слова nomen — имя, название) — направление в средневековой философии и
логике, исходившее из признания того, что общие понятия (универсалии) — это простые названия. «Uni-versalia post rem» («универсалии после вещей»), говорили номиналисты. Реально существуют не понятия, а отдельные вещи с их индивидуальными качествами, роды же и виды — это всего лишь субъективные понятия (coneepti), или же общие имена (nomina voces), которыми люди обозначают сходные предметы. К. Маркс в «Святом семействе» говорит, что номинализм является «первым выражением материализма» в средние века.
Недостатком номиналистического учения было то, что общие понятия понимались номиналистами только как имена, которые даже не отражают свойств и качеств единичных вещей. В действительности же общие понятия фиксируют реальные качества объективно существующих вещей, а единичные вещи содержат в себе общее.
Основателем номинализма считается И. Росцеллин (родился около 1050 г.). Затем номинализм был развит П. Абеляром, Д. Скотом и У. Оккамом.

НОВИКОВ Петр Сергеевич (1901—1975)—советский математик, логик, академик (1960). Окончил Московский университет (1925). Работал старшим научным сотрудником Ордена Ленина Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. Основные труды — по теории множеств, математической логике, теории алгоритмов и- теории групп. Создал метод доказательства непротиворечивости формальных систем, основанный на понятии регулярной формулы. Известны его результаты о непротиворечивости некоторых положений дескриптивной теории множеств. За решение знаменитой проблемы равенства слов в теории групп в 1957 г. ему присуждена Ленинская премия. Вместе со своим учеником С. И. Адяном он получил решение известной проблемы Бернсайда о периодических группах. П. С. Новиков создал большую школу математической логики в СССР. Он — автор первого советского систематического курса математической логики — «Элементы математической логики» (1959) (см.), являющегося доступным изложением основ этой научной дисциплины.

НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ АКСИОМ -такое свойство системы аксиом, когда никакие два принятых положения этой системы не противоречат друг ДРУГУ> когда в пределах данной системы аксиом нельзя одновременно вывести высказывание А и высказывание А (отрицание А), которые находятся друг к другу в отношении противоположности. Другими словами, теория считается непротиворечивой, если никакое высказывание не может быть в ней и доказано и вместе с тем опровергнуто.
Если в системе аксиом выявляется, что наосновании принятых в ней правил можно вывести А я А, то такая система аксиом не имеет никакой ценности, ибо она не в состоянии отобразить в себе различие между истиной и ложью. Доказуемость двух формул А и А, пишут Д. Гильберт и В. Аккерман, «осудила бы все исчисление на бессмысленность» [47, стр. 61]. Непротиворечивость исчисления высказываний (см.) они считают равнозначным с тем, что не каждая формула доказуема. Понятие непротиворечивости логистической системы, по А. Черчу [5, стр. 101], соответствует требованию, чтобы ни что являющееся логически абсурдным или содержательно противоречивым не было теоремой, или чтобы не существовало двух теорем, из которых одна является отрицанием другой.
Непротиворечивость (в смысле, конечно, формальнологической непротиворечивости) является, следовательно, основным качеством любой системы аксиом в математической логике. «Исчисление высказываний (и вообще любая формальная система, имеющая символ ~~] для отрицания),— пишет С. Клини,— называется (просто) непротиворечивой системой, если ни для какой формулы А формулы А и ~]А не являются обе доказуемыми в этой системе, и (просто) противоречивой в противном случае, если для некоторой формулы А одновременно |— А и |— ~] Л» [82, стр. 114—115], где знак \— заменяет слово «дает», а знак —j означает отрицание А. Указав на то, что доказательство непротиворечивости данной формальной системы становится точной математической проблемой, С. Клини подчеркивает, что «метаматематическое доказательство непротиворечивости формальной системы дает гарантию против возникновения противоречия (формально-логического.— Н. К.) в соответствующей содержательной теории» [82, стр. 115]. Простая противоречивость, естественно, является крайне нежелательным результатом. Несколько раньше С. Клини высказывает другую правильную мысль, правда, давно уже известную традиционной логике: непротиворечивость необходима в системе аксиом, но наличие ее еще недостаточно для того, чтобы быть уверенным в том, что система аксиом истинна. Главное в определении истинности или ложности теории — ее соответствие или несоответствие объективной действительности.
Проблема непротиворечивости, говорит П. С. Новиков [51, стр. 110—111], возникает при рассмотрении любого исчисления; это одна из «кардинальных проблем» математической логики. Исчисление он называет непротиворечивым, если в нем не выводимы никакие две формулы, из которых одна является отрицанием другой. «Иными словами,— пишет П. С. Новиков,— непротиворечивое исчисление — это такое исчисление, что, какова бы ни была формула 21, никогда формулы 31 и 21 не могут быть одновременно выведены из аксиом этого исчисления с помощью указанных правил» [51, стр. 111]. П. С. Новиков считает систему аксиом непротиворечивой, если, получая из нее какие угодно логические следствия, нельзя никогда прийти к противоречию в том смысле, что одновременно утверждается истинность и ложность одного и того же высказывания. «Если мы пользуемся какой-то системой аксиом,— пишет он,— то уверенность в ее внутренней непротиворечивости совершенно необходима, так как в противоречивой системе... нет различия истины от лжи. В ней можно доказывать истинность произвольных утверждений» [51, стр. 145—146].
В книге «Основания математической логики», вышедшей через четыре года после «Элементов математической логики» П. С. Новикова, крупный американский математический логик X. Карри придерживается этой же точки зрения в отношении к факту наличия противоречия в той или иной теории: «противоречивая теория бесполезна» [1527, стр. 81]. Действительно, если в теории одновременно доказуемы какая-нибудь формула и ее отрицание, то в такой теории из этого «противоречия» по правилам исчисления следует все, что угодно, т. е. доказуема каждая формула.
Но при всем том надо иметь в виду, что отсутствие логического противоречия в той или иной системе аксиом отнюдь не означает, что эта система истинна. Отсутствие логического противоречия в системе — это только одно из условий ее истинности. Система аксиом истинна, если она адекватно отображает закономерности исследуемых системой объектов. И еще необходимо учитывать следующее: как известно, Курт Гё-дель показал, что вопрос о непротиворечивости формальной системы нельзя решить средствами, формализуемыми в той же системе, и поэтому приходится обращаться к некоторой содержательной интерпретации.

НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ - качество правильного логического мышления, которое свидетельствует о том, что в рассуждении, доказательстве, теории не имеется логически противоположных или противоречащих мыслей об одном и том же предмете, взятом в одно и то же время и в одном и том же отношении. «... «Логической противоречивости»,— при условии, конечно, правильного мышления,— говорит В. И. Ленин,— не должно быть ни в экономическом ни в политическом анализе» [28, стр. 91]. Больше того, Ленин указывал, что не только экономический и политический анализ, но и «всякий анализ» не допускает логической противоречивости (см. Противоречия закон). Это значит, что в логически непротиворечивом рассуждении, доказательстве, теории нельзя одновременно вывести суждение (или высказывание) А и А (отрицание А).
Наличие логической противоречивости подрывает основу рассуждения, доказательства, теории. Логическая противоречивость — это ахиллесова пята неправильного рассуждения и учения. Установление логической противоречивости теории опрокидывает теорию без каких-либо дальнейших аргументов ее несостоятельности. Заслугу немецкого математика и логика Д. Гильберта (1862—1943) известный американский логик С. Клини видит во введении нового метода, который тесно связан с понятием непротиворечивости, означающем, что «никакое противоречие (т. е. ситуация, при которой некоторое предложение А и его отрицание ве-А оба являются терминами) не может возникнуть в рассматриваемой теории в процессе вывода из аксиом» [82, стр. 55]. Каждый работник, занятый на ЭВМ, знает, что строжайшим и обязательным свойством алгоритма должна быть непротиворечивость правил.
И не только в теоретических рассуждениях, а в любых умозаключениях, к которым приходится прибегать в житейских ситуациях, нельзя допускать логической противоречивости. Для примера можно привести эпизод, рассказанный итальянским офицером-разведчиком Алессандро Тандура. Во время первой мировой войны он был послан в расположение австрийских войск и попал в руки противника. Когда после первого допроса Тандура остался один в своей камере, он, взвешивая обстановку, так рассуждал сам с собой: «Вот нары, —хорошо, чорт возьми, потому что я порядком устал. Я растянулся. Не очень-то удобно, но отдохнуть можно. Глаза устремлены в потолок, как бы стараются на нем что-то прочесть. И, действительно, мне удается прочесть кое-что интересное,— это мои ответы на вопросы офицера, которые я повторял до бесконечности, и только вполне уверившись в том, что не забуду ни одного слова и в дальнейшем не буду себе противоречить, я начал размышлять о своем положении. Какая была самая большая из ожидавших меня опасностей? Сболтнуть что-либо противоречащее моим первоначальным показаниям».

НЕПРЕДИКАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ — определение, в котором определяемый предмет вводится через, множество (см.), к которому данный предмет принадлежит в качестве элемента. Напр., «Данный футболист есть тот, который является самым результативным нападающим команды «Спартак»».
На языке математической логики непредикативное определение можно выразить так [82, стр. 44]: множество М и объект т определены таким образом, что, с одной стороны, т является элементом М, а с другой стороны, определение т зависит от М. Такое определение т и определение М называются непредикативными.
По мнению С. Клини, непредикативное определение является определением, несущим в себе, по крайней мере по виду, логическую ошибку под названием «порочный круг»: то, что в нем определяется, принимает участие в своем собственном определении. См. [178, стр. 318—320]. Но существует ряд непредикативных определений, которые вполне корректны, напр., «Двойка есть такое число, которое, будучи сложено само с собой, дает свой точный квадрат». С другой стороны, имеется и ряд некорректных непредикативных определений. Термин «непредикативное определение» введен в научный обиход французским математиком А. Пуанкаре (1853—1912).

НЕПРАВИЛЬНОЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ — умозаключение, у которого выводное суждение не соответствует действительности. Неправильное умозаключение, допущенное ненамеренно, называется паралогизмом (см.), неправильное умозаключение, сделанное с намерением доказать какое-либо заведомо ложное положение, называется софизмом (см.). Правда, выдержать это деление неправильных по форме умозаключений логика не в состоянии, так как она не имеет средств точно в каждом случае установить, умышленно или не умышленно данное умозаключение совершается с нарушением правил.
Со времен Аристотеля неправильные умозаключения принято в логике делить на две группы: 1) умозаключения неправильные в логическом отношении (ошибочность в содержании мысли или в форме связи суждений в умозаключении) и 2) умозаключения неправильные в словесном выражении.
Умозаключения неправильные в логическом отношении (лат. fallacia extra dictionem) бывают следующих видов:
а) подмена тезиса (см.);
б) «кто доказывает чересчур, тот ничего не доказываете (см.);
в) «.основное габлуждение» (см.);
г) «после этого, значит, по причине этого» (см.);
д) «неправильное разделение» (см.);
е) «предрешение основания» (см.);
ж) «тавтология» (см.);
з) «круг в доказательстве» (см.);
и) чистое обращение общеутвердительного суждения (см. Обращение);
к) когда в первой фигуре категорического силлогизма меньшая посылка отрицательная, или большая посылка частная (см. Первая фигура простого категорического силлогизма); когда во второй фигуре обе посылки утвердительные (см. Вторая фигура простого категорического силлогизма); когда по третьей фигуре делается общее заключение (см. Третья фигура простого категорического силлогизма);
л) когда в условном умозаключении делается вывод от следствия к основанию, или от основания к следствию
м) «учетверение терминов» (см.);
н) когда выражение, взятое в относительном смысле, принимается затем в смысле безусловном (см. От сказанного в относительном смысле к сказанному безотносительно);
о) когда на вопрос, который заключает в себе несколько частных вопросов, отвечают вообще: «да» или «нет» (см. Secundem plures interrogationes ut unam).
Умозаключения неправильные по словесному выражению (лат. fallacia secundum dictionem) бывают следующих видов:
а) неправильное умозаключение вследствие смешения различных значений одного и того же слова (см. Омонимия);
б) неправильное умозаключение, в котором собирательное понятие смешивается с общим; как известно, то, что справедливо о целом классе, то справедливо и о каждом индивидууме этого класса, но что приложи-мо к целому, названному собирательным именем, то не может быть приложимо к каждой части этого целого (см. Ют собирательного смысла к смыслу разделительному»);
в) неправильное умозаключение, в котором о сложном целом утверждается то, что имеет место относительно каждой из частей его в отдельности (см. Ют смысла разделительного к смыслу собирательному»);
г) ^правильное умозаключение, в котором смешиваются значения слов, происходящих от одного корня, но имеющИХ различный смысл (лат. figura dictionis); напр., «кто составил проект, тот прожектёр; прожектёр ие заслуживает никакого доверия; следовательно, кто составил проект, тот не заслуживает никакого доверия».