ПОЛНОТА СИСТЕМЫ АКСИОМ — качество системы аксиом, свидетельствующее о том, что в ней все содержательно истинные формулы, записанные средствами языка системы, могут быть выведены по правилам логики из нее самой. Дедуктивная теория считается полной и в том смысле, если присоединение к ее аксиомам не выводимого в ней предложения при сохранении правил неизменными делает теорию противоречивой. Наличие же логического противоречия разрушает теорию, делает ее бесполезной. Полнота исчисления высказываний (см.) в первом смысле означает, что каждая тождественно-истинная формула оказывается в ней выводимой.
Полнота некоторой системы аксиом, говорят Д. Гильберт и В. Аккерман, может быть определена двояким образом. «Во-первых,— пишут они,— можно под этим понимать, что все истинные формулы некоторой содержательно характеризуемой области могут быть получены из данной системы аксиом. Но понятие полноты можно также понимать более строго, так что некоторая система аксиом называется полной только в том случае, если присоединение к ней какой-нибудь до этого не выводимой формулы всегда приводит к противоречию» [47, стр. 66].
Система полна для данной интерпретации, по С. Кли-ни [82, стр. 121], если дедуктивные постулаты (или правила преобразования) позволяют доказать в системе все истинные предложения, которые правила образования позволяют в ней выразить. П. С. Новиков говорит о полноте в узком смысле, понимая под этим следующее: «Логическая система называется полной в узком смысле, если нельзя без противоречия присоединить к ее аксиомам в качестве новой аксиомы никакую не выводимую в ней формулу так, чтобы полученная при этом система была непротиворечива» [51, стр. 214]. А. Чёрч различает логическую систему, полную относительно данного преобразования, и логическую систему абсолютно полную [5, стр. 103]. Он называет логическую систему полной относительности данного преобразования, переводящего каждое предложение А в предложение А', если для каждого предложения В либо \— В, либо присоединение В к системе в качестве ее аксиомы делает систему противоречивой относительно данного преобразования; логистическая система является полной, если для всякого предложения В либо [— В, либо присоединение В к системе в качестве ее аксиомы делает систему абсолютно противоречивой.
Но требование полноты не является обязательным для всех аксиоматических теорий. Практически полезными являются многие неполные системы аксиом. В начале тридцатых годов австрийский математик и логик К. Гёдель доказал, что существуют такие неполные формальные системы, в которых всегда имеются недоказуемые и неопровергаемые предложения. Больше того, последующими работами А. Чёрча, С. Клини, А. Тарского, А. Мостовского, П. Новикова и других была доказана невозможность полной формализации научного знания. «Стремление к полноте,— как правильно подчеркивается в [1922], — естественное стремление науки, хотя его «абсолютная реализация» представляется скорее недостижимым идеалом, к которому можно лишь приближаться. Этот идеал, во всяком случае, недостижим не только в опытно-экспериментальных науках (опыт всегда незавершен), но и во многих дедуктивно-математических областях...»
В вычислительной технике [1784] под логической полнотой понимают способность системы элементов реализовать любую функцию алгебры логики (см.). Понятие логической полноты связано здесь с понятием функционально полных (базисных) систем алгебры логики (напр., конъюнкции и отрицания, дизъюнкции и отрицания (см.) и т. д.).

НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ АКСИОМ -такое свойство системы аксиом, когда никакие два принятых положения этой системы не противоречат друг ДРУГУ> когда в пределах данной системы аксиом нельзя одновременно вывести высказывание А и высказывание А (отрицание А), которые находятся друг к другу в отношении противоположности. Другими словами, теория считается непротиворечивой, если никакое высказывание не может быть в ней и доказано и вместе с тем опровергнуто.
Если в системе аксиом выявляется, что наосновании принятых в ней правил можно вывести А я А, то такая система аксиом не имеет никакой ценности, ибо она не в состоянии отобразить в себе различие между истиной и ложью. Доказуемость двух формул А и А, пишут Д. Гильберт и В. Аккерман, «осудила бы все исчисление на бессмысленность» [47, стр. 61]. Непротиворечивость исчисления высказываний (см.) они считают равнозначным с тем, что не каждая формула доказуема. Понятие непротиворечивости логистической системы, по А. Черчу [5, стр. 101], соответствует требованию, чтобы ни что являющееся логически абсурдным или содержательно противоречивым не было теоремой, или чтобы не существовало двух теорем, из которых одна является отрицанием другой.
Непротиворечивость (в смысле, конечно, формальнологической непротиворечивости) является, следовательно, основным качеством любой системы аксиом в математической логике. «Исчисление высказываний (и вообще любая формальная система, имеющая символ ~~] для отрицания),— пишет С. Клини,— называется (просто) непротиворечивой системой, если ни для какой формулы А формулы А и ~]А не являются обе доказуемыми в этой системе, и (просто) противоречивой в противном случае, если для некоторой формулы А одновременно |— А и |— ~] Л» [82, стр. 114—115], где знак \— заменяет слово «дает», а знак —j означает отрицание А. Указав на то, что доказательство непротиворечивости данной формальной системы становится точной математической проблемой, С. Клини подчеркивает, что «метаматематическое доказательство непротиворечивости формальной системы дает гарантию против возникновения противоречия (формально-логического.— Н. К.) в соответствующей содержательной теории» [82, стр. 115]. Простая противоречивость, естественно, является крайне нежелательным результатом. Несколько раньше С. Клини высказывает другую правильную мысль, правда, давно уже известную традиционной логике: непротиворечивость необходима в системе аксиом, но наличие ее еще недостаточно для того, чтобы быть уверенным в том, что система аксиом истинна. Главное в определении истинности или ложности теории — ее соответствие или несоответствие объективной действительности.
Проблема непротиворечивости, говорит П. С. Новиков [51, стр. 110—111], возникает при рассмотрении любого исчисления; это одна из «кардинальных проблем» математической логики. Исчисление он называет непротиворечивым, если в нем не выводимы никакие две формулы, из которых одна является отрицанием другой. «Иными словами,— пишет П. С. Новиков,— непротиворечивое исчисление — это такое исчисление, что, какова бы ни была формула 21, никогда формулы 31 и 21 не могут быть одновременно выведены из аксиом этого исчисления с помощью указанных правил» [51, стр. 111]. П. С. Новиков считает систему аксиом непротиворечивой, если, получая из нее какие угодно логические следствия, нельзя никогда прийти к противоречию в том смысле, что одновременно утверждается истинность и ложность одного и того же высказывания. «Если мы пользуемся какой-то системой аксиом,— пишет он,— то уверенность в ее внутренней непротиворечивости совершенно необходима, так как в противоречивой системе... нет различия истины от лжи. В ней можно доказывать истинность произвольных утверждений» [51, стр. 145—146].
В книге «Основания математической логики», вышедшей через четыре года после «Элементов математической логики» П. С. Новикова, крупный американский математический логик X. Карри придерживается этой же точки зрения в отношении к факту наличия противоречия в той или иной теории: «противоречивая теория бесполезна» [1527, стр. 81]. Действительно, если в теории одновременно доказуемы какая-нибудь формула и ее отрицание, то в такой теории из этого «противоречия» по правилам исчисления следует все, что угодно, т. е. доказуема каждая формула.
Но при всем том надо иметь в виду, что отсутствие логического противоречия в той или иной системе аксиом отнюдь не означает, что эта система истинна. Отсутствие логического противоречия в системе — это только одно из условий ее истинности. Система аксиом истинна, если она адекватно отображает закономерности исследуемых системой объектов. И еще необходимо учитывать следующее: как известно, Курт Гё-дель показал, что вопрос о непротиворечивости формальной системы нельзя решить средствами, формализуемыми в той же системе, и поэтому приходится обращаться к некоторой содержательной интерпретации.

НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМЫ — свойство аксиомы, заключающееся в том, что она невыводима из остальных аксиом, входящих в ту логическую систему, к которой принадлежит и данная аксиома.
Другими словами, независимость той или иной аксиомы от остальных аксиом данной системы состоит в том, что аксиому нельзя доказать при помощи остальных аксиом, входящих в систему аксиом, в которую входит и независимая аксиома. «Для доказательства независимости какой-либо аксиомы,— пишет П. С. Новиков,— достаточно найти систему объектов, удовлетворяющую всем аксиомам, кроме исследуемой, и не удовлетворяющей этой последней. Иными словами, для доказательства независимости аксиомы требуется найти интерпретацию системы аксиом, полученной из рассматриваемой после замены исследуемой аксиомы ее отрицанием» [51, стр. 14].
Более лаконично существо проблемы независимости аксиомы выражает А. Чёрч [5, стр. 105]: аксиома (напр. А) называется независимой, если она не является теоремой в системе, получающейся исключением .-4 из числа аксиом, или, что эквивалентно тому же, аксиому можно назвать независимой, если существует теорема, которая не может быть доказана без этой аксиомы.
Речь может идти не только о независимой аксиоме, но и о независимой системе аксиом, которой называется такая система, в которой ни одна аксиома не выводима из остальных аксиом системы. Внутренняя независимость аксиом очень важная характеристика системы аксиом, ибо она освобождает систему от лишних аксиом. Некоторыми логиками высказывается утверждение, что независимость аксиомы логистической системы не следует считать обязательным. Присоединяясь к этому утверждению, А. Чёрч подчеркивает, что есть случаи, когда, допуская зависимость аксиомы, добиваются важных преимуществ, требование же независимости принимается более для изящества логистической системы.

ЛОГИКА ПРОВЕРКИ — термин, которым некоторые формальные логики XIX в. и начала XX в. обозначали предмет традиционной логики. Так, русский логик А. И. Введенский (1856—1925) называл разрабатываемый им курс логики логикой проверки и сводил ее к науке о «правилах, которые должны быть соблюдены при проверке уже возникшей догадки... логика всегда предполагает, что догадка уже возникла, и ведет речь только о том, как ее проверить» [1967, стр. 7]. Концепция «логики проверки» противопоставлялась воззрениям на предмет логики тех формальных логиков, которые считали главным для этой науки классификацию и исследование правил открытий и потому называли разрабатываемую ими науку логикой открытий. Но, как показала практика, обе эти концепции несостоятельны. Формальная логика — это не логика открытий (о чем сказапо в нашей статье Логика открытий) и не логика проверки. Формальная логика — наука о выводном знании, т. е. о знании, полученном из ранее установленных и проверенных истин, без обращения в данном конкретном случае к опыту, к практике, а только в результате применения законов и правил логики к имеющимся истинным мыслям. Операция же проверки не охватывает всех моментов получения выводного знания. В самом деле, индукция, напр., есть такая логическая операция, в ходе которой речь идет не только о проверке и не столько о проверке, а о наведении мысли на какое-либо общее правило, общее положение, присущее всем единичным предметам какого-либо класса.

ДОВОД (ОСНОВАНИЕ, АРГУМЕНТ) — составная часть всякого доказательства, под которой понимается мысль, истинность которой проверена и доказана и которая поэтому может быть приведена в обоснование истинности или ложности высказанного положения.
Самым верным и неопровержимым доводом является совокупность относящихся к тезису фактов и событий. В тех случаях, когда не имеется возможности подтвердить истинность или ложность тезиса непосредственно фактами, в обоснование тезиса приводятся мысли, истинность которых проверена и доказана на основе доказательства или общественной практикой!
Основное требование, которое предъявляется к каждому доводу, это его доказанность, истинность, т. е. соответствие предметам и явлениям объективной деятельности. Ложными доводами, как правило, нельзя обосновать тезис. Наиболее типичными нарушениями данного требования являются две давно известные в логике ошибки: «Основное заблуждение» (см.) и «Предвосхищение основания» (см.).
Логические операции с доводами подчиняются следующим правилам: 1) доводы должны являться достаточным основанием тезиса. Нарушением этого правила являются две часто встречающиеся в неправильных доказательствах ошибки: «Не следует» (см.) и «От сказанного в относительном смысле к сказанному безотносительно» (см.); 2) доводы должны быть мыслями, истинность которых доказана самостоятельно, независимо от тезиса. Нарушением этого правила является логическая ошибка, которая называется.

ДИСКУРСИВНОЕ ЗНАНИЕ (от лат. discursus— рассуждение) — рассудочное, опосредствованное, полученное в результате связпого рассуждения на основе предшествующего опыта знание; процесс связного, строго последовательного, ясного рассуждения, в котором каждая последующая мысль вытекает из предыдущей, зависит от предыдущей и обусловливает последующую. Дискурсивным является, напр., знание полученное в результате индуктивного умозаключения (см. Индукция), когда от знания частных фактов исследователь шаг за шагом идет к обобщающему выводу. Дискурсивное знание обычно отличают от знания, полученного непосредственно (интуитивно), но это отличие очень относительно. Любое интуитивное знание (см. Интуиция) в конечном счете опирается на ранее накопленные знания, поэтому дискурсия и здесь налицо, все дело лишь в том, что часто трудно выявить закономерность скачка, в результате которого возникает как бы «внезапно» новая мысль, разрешающая искомую задачу.
По Канту, дискурсивное познание — это познание, возникающее из рассудка, в противоположность интуитивному познанию, покоящемуся на непосредственном созерцании.

АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ — одна из составных частей алгебры логики (см.), представляющая собой один из основных разделов математической логики, в котором методы алгебры применяются для изучения операций над высказываниями, т. е. над предложениями, в отношении каждого из которых имеет смысл утверждать только то, что его содержание истинно либо ложно.
Часто с алгебры высказываний начинается изложение курса математической логики. Изучение высказываний в алгебре ведется, исходя из того положения, что мысленные операции с ними подчиняются формально-логическим законам противоречия и исключенного третьего (см. Противоречия закон И Исключенного третьего закон). Это, прежде всего, означает, что любое высказывание или истинно, или ложно, но одновременно не может быть и истинным и ложным.
В операциях с высказываниями алгебра высказываний отвлекается от содержания высказывания и от структуры элементарных высказываний (в высказывании не фиксируются даже субъект и предикат). Алгебру высказываний интересует только одно свойство предложения — является оно истинным или ложным. Все истинные высказывания тождественны, так как истинное высказывание не отличается по своему значению от дру-loio истинного высказывания.
Основные операции алгебры высказываний задаются таблично как функции: значение сложного высказывания оказывается зависящим только от значений истинности или ложности составляющих его простых высказываний.
Основная задача методов алгебры логики состоит в описании преобразований над высказываниями на основе определенных логических законов. Согласно П. С. Новикову, «знакомство с законами алгебры высказываний очень облегчает изучение тех логических исчислений, с которыми мы встретимся в дальнейшем. Кроме того, алгебра высказываний представляет самостоятельный интерес и имеет приложения в других отраслях науки. Она применяется, например, при синтезе релейно-контактных и электронных схем» [51, стр. 38].
В данном случае мы дали характеристику двухзначной алгебры высказываний, в которой принимаются только два значения истинности высказываний («истинно» и «ложно»), в многозначной алгебре высказываний, где кроме значений «истинно» и «ложно» употребляются такие истинностные значения, как «возможно», «вероятно», «невозможно» и т. д., действуют свои, специфические закономерности.

КСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — метод построения какого-нибудь раздела науки (напр., математики, математической логики, механики, термодинамики и др.) или какой-либо науки в целом, при котором из всех истинных утверждений раздела (или науки) избирается некоторое конечное подмножество (см.) из числа этих утверждений, кладется в основу раздела в качестве исходных положений — аксиом (см.), из которых затем логическим путем, посредством доказательства средствами формальной логики выводятся все остальные истинные утверждения (теоремы) этого раздела или научной теории.
Если говорить более конкретно, то первым шагом аксиоматического метода является то, что без определений принимается некоторая совокупность первичных терминов (или символов), соответствующая некоторым неспецифицированным совокупностям основных исходных объектов исследуемой области. Одновременно выводятся первичные термины и для операций и отношений, определенных для соответствующих областей носде-цифицированных объектов. Затем на основе первичных терминов формулируются аксиомы, описывающие свойства первичных операций и отношений. Из аксиом логическим путем выводятся теоремы аксиоматической теории. Новые более сложные объекты вводятся в теорию на основе первичных терминов путем явных определений. О их свойствах также доказываются соответствующие теоремы. Так, Евклид, который уже применял аксиоматический метод в своих «Началах», взял в качестве первичных терминов такие, как точка, прямая и плоскость. Принятая в наши дни аксиоматика евклидовой геометрии, предложенная Д. Гильбертом, исходит из шести первичных терминов: «точка», «прямая», «плоскость», «инцидентно», «между» и «конгруэнтно».
Аксиоматический метод имеет важнейшее значение для математики и математической логики. Известно, что в рамках аксиоматических теорий все доказуемые предложения математики (теоремы) и все доказуемые высказывания (см.) математической логики, которые также называются теоремами, получаются логическим путем с помощью правил дедукции из небольшого конечного числа исходных недоказуемых в рамках данной системы начал, называемых аксиомами. Немецкий математик и логик Д. Гильберт избрал аксиоматический метод своим основным орудием нового обоснования математики. Аксиоматический метод построения научной теории нашел применение также в механике, термодинамике, электродинамике и др.
Аксиоматический метод облегчает организацию и систематизацию научного знания, позволяет быстрее выявить внутреннюю, логическую связь между отдельными разделами теории, четко вычленяет исходные положения и положения, получаемые из аксиом, приучает к точности и строгости суждений. Самое существенное значение аксиоматического метода Г. И. Руза-вин [1522, стр. 108—1091 видит в том, что он представляет ценнейший инструмент научного исследования, отыскивания новых математических закономерностей.
Важнейшими качествами аксиоматического метода являются непротиворечивость, независимость и в ряде случаев полнота создаваемой на основе этого метода системы аксиом.
Ио применяя аксиоматический метод построения научной теории, надо иметь в виду, что од не может абсолютизироваться. Так, установление того факта, что данная аксиоматическая система является непротиворечивой, конечно, имеет большое значение в процессе выяснения истинности этой системы: наличие логического противоречия в системе разрушает ее, так как, если в системе можно одновременно вывести доказуемость утверждения А и отрицания 4, то в ней уже нельзя отличить истину от лжи. Но ведь установление непротиворечивости — это только одно из требований, предъявляемых к аксиоматическому методу. И кроме того, как доказал К. Гёдель в 1931 г., в своей теореме о неполноте формальных систем, что всякая достаточно богатая непротиворечивая формальная система непременно неполна, так как в ней можно построить некоторую формулу Ф, которая будет неразрешима в системе.
Эта теорема Гёделя выявила невозможность полной формализации мышления, а следовательно, и известную ограниченность аксиоматического метода. Если в концепции гильбертовского аксиоматического метода закон исключенного третьего (см. Исключенного третьего закон) выступает в качестве логической аксиомы (Гильберт говорил, что отнять у математиков закон исключенного третьего — это все равно, что забрать у астрономов телескоп), то в интуиционистской логике отрицается применимость его в операциях с бесконечными множествами. Если в гильбертовской концепции интерпретация (метод моделей) формальной системы в терминах содержательной системы широко используется в процессе выяснения непротиворечивости аксиоматической системы, то в конструктивной логике (см.) построенная формальная система считается корректной лишь тогда, когда указан способ потенциаль-fio осуществимого построения (конструирования) объектов формальной системы.