ЯНОВСКАЯ Софья Александровна (1896—1966) — советский ученый в области истории, методологии, философии математики и математической логики, доктор физико-математических наук (с 1935 г.), профессор кафедры математической логики механико-математического факультета МГУ, в котором трудилась с 1925 г. до своей кончины. Она была одним из пионеров, утверждавших в нашей стране математическую логику, редактором перевода, комментатором и автором вступительной статьи к первой опубликованной в нашей стране в 1947 г. монографии по математической логике «Основы теоретической логики» Д. Гильберта и В. Ак-кермана. В 1948 г. в ее переводе и с ее предисловием вышла в свет книга А. Тарского «Введение в логику и методологию дедуктивных наук». Появившаяся в 1961 г. в наших магазинах и библиотеках книга Р. Л. Гудстейна «Математическая логика» также была снабжена предисловием С. А. Яновской. С. А. Яновская явилась инициатором издания и таких книг, как «Введение в математику» С. К. Клини (1957), и «Введение в математическую логику» А. Чёрча (1960). Большую роль в развитии математической логики в нашей стране сыграли статьи С. А. Яновской «Основания математики и математическая логика» (в сб. «Математика в СССР за тридцать лет») и «Математическая логика и основания математики» (в сб. «Математика в СССР за сорок лет»).
Задача математической логики, по С. Я. Яновской, состоит в том, чтобы сделать логику точной наукой, применяя к ней методы математики. Необходимо, писала она, «пользуясь уже разработанными средствами математики, уточнять понятия и методы логики, чтобы при их помощи решать более трудные задачи математики и логики и логику средствами математики (в которой логика играет столь большую роль» [8, стр. 5—6]. Большое значение С. А. Яновская придавала систематизации, разработке и решению философских вопросов математической логики. Нашим философам, писала она, «нельзя уклоняться от необходимости готовить кадры таких специалистов, которые могут квалифицированно, т. е. на основе специальной работы над вопросами математической логики, разобраться в этой проблематике с точки зрения диалектического
материализма» [8. стр. 3—4]. Такими вопросами она считала соотношение математики и логики, характер существования тех или иных абстрактных объектов математики, выбор систем аксиом для различных логических исчислений (классическая и конструктивная логики, многозначные и модальные логики, комбинаторная логика и многие другие), «решение» (или исключение) антиномий (парадоксов) логического или семантического характера и др. Ею исследованы проблемы определения через абстракцию, способы преодоления с позиций диалектического материализма номиналистических и реалистических (платонистских) взглядов на универсалии и другие вопросы логики, имеющие важное мировоззренческое значение. За долгие годы своей плодотворной педагогической деятельности С. А. Яновская воспитала много научных работников в области логики и методологии математики.

«ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ» — сочинение П. С. Новикова, вышедшее в свет в 1956 г. и являющееся первым учебным пособием по математической логике на русском языке и представляющее собой запись лекций автора книги по математической логике, прочитанных на механико-математическом факультете МГУ и подготовленных к печати его учеником. Современное развитие математической логики автор связывает с эволюцией аксиоматического метода, нашедшего широкое распространение в математике. В этой эволюции П. С. Новиков выделяет два этапа: 1) от трудов русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) до работ немецкого математика и логика Д. Гильберта (1862—1943) по основаниям математики (см. «Основания геометрии», добавления VI—X, 1899) и 2) от этих работ Д. Гильберта до наших дней. Второй период в развитии аксиоматического метода П. С] Новиков характеризует как «соединение идей, идущих из геометрии, с развивающимся параллельно учением, известным под названием «символической», или «математической» логики. В результате возникла новая дисциплина, сохранившая название математической логики» [51, стр. И].
Прежде чем изложить основы математической логики, П. С. Новиков рассматривает вкратце предшествующее ей состояние аксиоматического метода, причины возникновения его и стоящие перед ним задачи. Сущность аксиоматического метода он усматривает в своеобразном способе определять математические объекты и отношения между ними. Так, изучая систему каких-то объектов, исследователь употребляет определенные термины, выражающие свойства этих объектов и отношения между ними. При этом он не определяет ни самих объектов, ни этих свойств и отношений, но высказывает ряд определенных утверждений, которые должны для них выполняться. Эти утверждения, посредством которых выделяется совокупность объектов, носят названия аксиом.
Если для какой-либо совокупности объектов, их свойств и отношений некоторые аксиомы истинны, то говорят, что данная совокупность объектов удовлетворяет системе этих аксиом, или, пишет П. С. Новиков, является интерпретацией данной системы аксиом. Затем получается возможность: делая логические выводы из аксиом, получать утверждения, справедливые для любой системы объектов, удовлетворяющей данным аксиомам.
При этом необходимо иметь в виду, что соответствие между аксиомами и предметами реальности, подчеркивает П. С. Новиков, всегда имеет приближенный характер. Когда возникает вопрос — удовлетворяют ли реальные объекты аксиомам,— тогда предварительно необходимо дать физические определения терминов, содержащихся в аксиомах, т. е. указать те физические обстоятельства, которые этим терминам соответствуют. Когда это проделано, тогда аксиомы превращаются в физические утверждения, которые можно подвергнуть экспериментальной проверке, после чего можно ручаться за истинность утверждений с той степенью точности, какую обеспечивают измерительные приборы.
Таково существо аксиоматического метода. Но при рассмотрении любой системы аксиом возпикает ряд вопросов, которые, в частности, могут решаться и с помощью интерпретации. П. С. Новиков указывает на два из этих вопросов — вопрос оиепроти-воречивости системы аксиом (см.) и вопрос о независимости аксиом (см.).
Появление противоречия означает, что рассматриваемой системе аксиом не может удовлетворить никакая система объектов, т. е. эти аксиомы ничего не описывают. Для того, чтобы доказать независимость какой-либо аксиомы,— а аксиома называется независимой в данной системе аксиом, если она невыводима из остальных аксиом этой системы,— надо найти систему объектов, удовлетворяющую всем аксиомам, кроме исследуемой, и не удовлетворяющей этой последней.
Указав на то, что интерпретации систем аксиом черпаются из круга математических понятий, П. С. Новиков полагает, что «самым мощным источником интерпретаций» для всевозможных систем аксиом является теория множеств (см.), которая оказала огромное влияние на математику. Но уже в самом начале возникновения теории множеств, говорит П. С. Новиков, было замечено, что пользование без всяких ограничений создаваемыми ею понятиями приводит к противоречию. Дело в том, что математическая логика, развивавшаяся до Гильберта, основывала теоретико-множественные построения на абстракции «актуальной бесконечности» (см.), под которой понимается бесконечная совокупность, построение которой завершено и элементы которой представлены одновременно. В классической математической логике, привлекающей абстракцию актуальной бесконечности, на понимание бесконечности распространяются некоторые логические принципы, которые являются совершенно бесспорными в области конечного (напр., целое больше части, исключенного третьего закон— см). Понятие «актуальной бесконечности» носит идеализированный характер, поскольку осуществить построение бесконечного числа объектов невозможно, но этим понятием математическое мышление пользуется.
Но идея актуальной бесконечности, говорит П. С. Новиков, не снимает всех трудностей, возникающих перед теорией множеств (напр., парадоксы теории множеств). Противники идеи актуальной бесконечности называют полятие «актуальной бесконечности» логически противоречивым, ибо, говорят они, завершенная, бесконечная величина конечна, а не бесконечна.
Выход из создавшихся затруднений был найден Гильбертом, предложившим конструктивный (генетический) метод построения научных теорий. Он применил в процессе исследования идею потенциальной бесконечности (см.), под которой понимается множество, способное неограниченно возрастать или убывать. Смысл этого понятия П. С. Новиков определяет так: рассматривается бесконечное множество осуществимых возможностей; каждая из них в отдельности осуществима, осуществимо также любое конечное число этих возможностей, но все вместе они неосуществимы.
Применение конструктивного метода явилось переломным моментом в развитии логики. Возникшая на этой основе конструктивная логика (см.), разработанная в трудах Л. Брауэра, Г. Вейля, А. Гейтинга, А. Н. Колмогорова, А. А. Маркова, П. Ло-ренцена, представителем которой является П. С. Новиков, запрещает переносить на бесконечные множества законы, действующие в пределах конечных множеств. Так, из общих логических принципов в конструктивной логике устраняется закон исключенного третьего, но сохраняются все остальные логические принципы и, в частности, закон противоречия (см.Противоречия\закон). Если классическая математическая логина исходит иэ так называемых «чистых теорем существования», принимающих существование объектов с такими-то свойствами и не интересующихся способами построения объектов, то конструктивная логика считает доказанным существование объекта с данными свойствами лишь тогда, когда указывается способ построения (конструирования) объекта. Конструктивными объектами могут быть как конкретные, так и абстрактные предметы. Они строятся (конструируются) индуктивно. Само понятие конструктивного объекта не определяется, а лишь поясняется.
Книга П. С. Новикова «Элементы математической логики» состоит из шести глав. В первой главе излагается алгебра высказываний (см.). Высказывания рассматриваются как предложения, которые удовлетворяют закону исключенного третьего и закону противоречия, т. е. каждое высказывание или истинно, или ложно, и не может быть одновременно и истинно и ложно. Высказывание имеет только одно свойство: оно представляет собой или истину, или ложь. Во второй главе, названной «Исчисление высказывании», алгебра высказываний изложена в виде аксиоматической системы, а в первой главе было дано содержательное описание этой алгебры.
В третьей и четвертой главах рассмотрена другая логическая система, которая называется логикой предикатов (см.). Причем опять в третьей главе логика предикатов изложена содержательно, а в четвертой главе — в виде аксиоматического исчисления. Логика предикатов представляется как развитие алгебры вы оказываний. Она включает в себя всю алгебру высказываний (ее операции и формулы) и кроме того высказывания, отнесенные к предметам. В логике предикатов уже имеется расчленение высказываний на субъект и предикат, чего не было в алгебре высказываний. Дается определение кванторов общности и существования.
В пятой главе излагается аксиоматическая арифметика, в шестой главе — методы теории доказательства, посредством которых решаются некоторые вопросы математической логики, возникающие в первых пяти главах.

ШРЕДЕР (Schroder) Эрнст (1841—1902) — немецкий математик и логик, систематизатор и продолжатель результатов Дж. Буля (1815—1864) и его школы. В 1877 г. опубликовал свой труд <<Der Operationkreis der Logikkalkuls», в котором предельно кратко изложил алгебру логику (см.) и ввел в научный обиход термин «логическое исчисление» (см.). Монументален его трактат «Vorlosungen tiber die Algebra des Logik» («Лекции по алгебре логики»), опубликованный в 1890— 1895 гг., в котором не только продолжена разработка идей Дж. Буля, но излагаются и результаты исследований его последователей. В отличие от Буля, взявшего за основу логического исчисления отношение равенства, Шредер построил свое логическое исчисление на базе отношения включения класса в класс. Им введено понятие нормальной формы для логических выражений, открыт принцип двойственности (в логике классов). Шредер занимался также исследованием модусов силлогистических фигур (см. Модусы силлогизма). Он является автором аксиомы ингерентности знаков.

ЧИСЛО (лат. numerus) — одно из основных понятий математики, при помощи которого обозначается какое-либо определенное количество, отображается количественная характеристика предметов и явлений объективной действительности и объектов из области абстрактных систем, ведутся счет и измерения. Возникнув в простейшем виде еще в первобытном обществе, понятие числа, учитывая потребности практической деятельности людей, изменялось на протяжении веков. С появлением письменности число на первых порах обозначалось черточками на каком-либо материале, затем другими знаками. По этому пути шла запись чисел римскими цифрами. Индийцы изобрели современную позиционную систему, в которой любое натуральное число записывается при помощи десяти знаков-цифр. Важными вехами на пути развития понятия числа было возникновение понятия о целых положительных (натуральных) числах, осознание бесконечности натурального ряда чисел (1, 2, 3, ...), включение в обиход действий сложения и вычитания, затем умножения и деления, появление понятий порядкового и количественного числа, дробного числа, отрицательного числа, рационального, действительного и иррационального чисел, мнимого числа, квадрат которого отрицателен, комплексных чисел (числа вида а + Ы, где а и Ъ — действительные числа, a i — мнимая величина. См. [1845, стр. 394—397]. Говорят об абсолютном значении или абсолютной величине числа, понимая под этим [1986] расстояние от данного числа до нуля.

ЧЁРЧ (Church) Алонзо (р. 1903) — крупный американский математик и логик, профессор математики Принстонского университета (США). С 1936 г. редактор журнала «The Journal of Symbolic Logic». Исследует проблемы логической семантики и математической логики. Он известен тем, что в 1935 г. построил первый пример неразрешимой массовой проблемы, которая состоит в требовании «найти алгоритм для решения некоторой серии... «единичных» проблем. Массовая проблема неразрешима, если ее решения, т. е. требуемого алгоритма, не существует» [439, стр. 7].
Им же дано доказательство неразрешимости проблемы для узкого исчисления предикатов (см.), т. е. доказательство того, что не существует алгоритма, который по виду формулы этого исчисления определял бы, выражает эта формула общелогическую истину или нет.
А. Чёрч — автор «Введения в математическую логику», ч. I (1956), в котором разъяснил свое понимание метода математической логики, определил ее первичные понятия и изложил исчисление высказываний (см.), или, пропозициональное исчисление, функциональные исчисления первого порядка, чистое функциональное исчисление первого порядка и функциональные исчисления второго порядка. А. Чёрч дает определения таких категорий, как имя, константы и переменные функции, символы, связки, операторы, кванторы, проблема разрешения, непротиворечивость и полнота системы аксиом и др.
Математическую логику А. Чёрч называет формальной логикой, предмет которой изучается методом построения формализованных языков. «Обычно (формальная) логика,— пишет он,— занимается анализом предложений и доказательств; при этом основное внимание обращается на форму в отвлечении от содержания...» [5, стр. 15]. Поскольку естественные языки на протяжении длительных исторических периодов развивались под влиянием практических потребностей легкости общения, постольку они не отличаются точностью и
надежностью, что приводит к ошибкам в рассуждениях. Чтобы избежать возможных ошибок, А. Чёрч предлагает употреблять для логических целой специально созданный язык — формализованный язык, в который из обычных языков будут перенесены собственные имена. При этом он подчеркивает, что в хорошо построенном языке каждое имя должно иметь точно один смысл, если ставится задача обеспечить однозначность в формализованных языках. Суждение А. Чёрч определяет так: «Всякий концепт истинностного значения ...называется суждением независимо от того, является ли он смыслом какого-либо предложения...».

ФРЕГЕ (Frege) Готтлоб (1848—1925) — выдающийся немецкий математик, философ и логик. В книге «Исчисление понятий» (1879) он систематически изложил исчисление высказываний (см.), которое является разделом современной математической логики (см.). Это было первое аксиоматическое построение логики высказываний (см.), основанное на импликации (см.) и отрицании (см.). Ему принадлежит разработка принципов математического доказательства (см. Доказательство математическое) и теории множеств (см.). Фреге ввел в математическую логику символы для кванторов (см.). Его считают зачинателем семантических исследований. Он впервые приступил к более глубокому исследованию понятия «смысл» (см:). Фреге проводил различие между именами предметов и именами функций (см.): предметом он называл то, что не есть функция. Исходя из этого, такую логическую форму, как понятие, он определял как частный случай функций. Понятие, по Фреге,— это функция, которая каждому аргументу ставит в соответствие либо истинность, либо ложность [см. 942]. См. Аксиомы Фреге.
В целом труды Фреге явились серьезным вкладом в логику, положившим начало новому этапу в развитии математической логики. Он подверг критике Милля за переоценку индукции, Канта — за деление суждений на аналитические и синтетические.
Фреге является представителем логицизма, утверждавшего возможность выведения всей содержательной математики из формальной логики (см.), и противником психологического направления в логике. Когда в 1895 г. был уже в печати второй том его труда «Griind-gesetze der Arithmetik», Фреге получил письмо от Б. Рассела, из которого он узнал, что в его системе имеется неразрешимое противоречие (названное парадоксом Рассела). Это известие настолько сильно подействовало на Фреге, что в течение последующих двух десятилетий он уже не дал ни одного крупного труда по логике. Крах логицизма стал очевиден в свете известных результатов К. Гёделя (1931 г.).

УСЛОВИЕ (в логике) — та часть условного суждения (см.), в которой выражается знание о том, что делает возможным существование чего-нибудь другого, или знание о том, от чего зависит что-нибудь другое, что определяет собою что-нибудь другое.
Напр., в условном суждении «Если по проводнику проходит электрический ток, то вокруг проводника существует магнитное поле» условием является та часть, которая выражена словами «если по проводнику проходит электрический ток». Прохождение электрического тока является условием существования магнитного поля вокруг проводника. Вторая часть условного суждения (в данном суждении она зафиксирована словами «то вокруг проводника существует магнитное поле») называется следствием. Эта часть содержит знание об обусловленном, зависимом от условия.
Отношение между условием и обусловленном записывается в виде следующей формулы:
«Если А есть В, то С есть D»,
где «А есть В» обозначает знание об условии существования «С есть D», а «С есть D» — обусловленное.
Общие свойства отношения между условием и обусловленным выражаются аксиомой: «Если два явления связаны как условие и обусловленное, то всегда, когда есть условие, есть и обусловленное, при отсутствии обусловленного отсутствует и условие».
Из этого следуют два логических правила: 1) от утверждения условия можно умозаключать к утверждению обусловленного (напр., если по проводнику проходит электрический ток, то вокруг проводника существует магнитное поле; нам известно, что по проводнику проходит электрический ток; следовательно, можно утверждать, что вокруг проводника существует магнитное поле); 2) от отрицания обусловленного можно умозаключать к отрицанию условия (напр., если по проводнику проходит электрический ток, то вокруг провод-< ника существует магнитное поле; нам известно, что вокруг проводника нет магнитного поля; следовательно, можно утверждать, что по проводнику не проходит электрический ток).
Но нельзя умозаключать от отрицания условия к отрицанию обусловленного или от утверждения обусловленного к утверждению условия. Напр., известно, что если электростанция прекратит подачу тока, то трамваи остановятся. Нам сообщили, что в данный момент трамваи остановились. Можно ли из этого утверждения сделать вывод, что электростанция прекратила подачу тока? Нельзя, так как трамваи могут остановиться и по какой-либо другой причине (напр., в случае аварии на линии).

ТЕОРИЯ ИГР — теория, исследующая с помощью математических моделей разного рода стратегические игры, в которых участники ставят прямо противоположные задачи и добиваются осуществления своих целей различными путями. Предметом теории игр является поэтому изучение возможности принятия наиболее выгодного решения задачи в условиях неопределенности, когда приходится иметь дело со множеством возможных ситуаций и, следовательно, множеством возможных решений, поскольку каждый из противников имеет неполную информацию о намерениях противника, который может принять решение, способное кардинально изменить ход игры. В теории игр рассматривается количественная мера «выигрыша» в результате принятия правильной стратегии в данных условиях, исследуются модели наиболее выгодного поведения в условиях столкновения различных сторон, имеющих противоположные цели и интересы (модели конфликтов), общие правила установления стратегии, т. е. поведения игрока в той или иной ситуации. Математическое описание игры, согласно [1761, стр. 208— 210], сводится к перечислению всех участвующих в ней игроков, указанию для каждого игрока множества всех его стратегий, а также численного выигрыша, который он получит после того, как все игроки выберут свои стратегии. Согласно принятому в теории игр «принципу минимакса», рекомендуется выбирать стратегию с учетом того, чтобы даже в случае самой оптимальной стратегии, принятой противником, выбирающий стратегию понес наименьшие потери. После этого игра становится формальным объектом, который поддается математическому анализу. Основная цель этого анализа состоит в разработке критериев целесообразности поведения игроков, доказательстве существования у игроков оптимальных стратегий, установлении важнейших оптимальных стратегий, формул и алгоритмов для их фактического вычисления. Игры классифицируются по различным признакам: 1) коалиционные и бескоалиционные (каждая сторона состоит из одного игрока); 2) игры нормальной формы (информация получена до начала игры) и динамические игры (информация поступает игрокам постепенно); конечные и бесконечные (в зависимости от числа стратегий). Встречается и такая классификация игр [1855]: 1) антагонистические, в которых сумма выигрышей игроков в каждой ситуации равна нулю; 2) с полной информацией, в которых все участники располагают полной информацией о сложившейся в игре ситуации в каждый момент времени; 3) матричные — такие антагонистические игры, в которых каждый игрок имеет конечное число стратегий; 4) игры с природой, в которых один из противников не имеет определенной стратегии и целей; 5) с неполной информацией, в которых участники располагают неполной информацией о позициях, сложившихся в игре.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ— математическая наука, исследующая пути измерения и числовую характеристику степени объективной возможности появления какого-либо определенного события в массе однородных случайных событий, могущих повторяться неограниченное число раз, и выведение на этом основании количественных закономерностей, которым они подчинены; наука, изучающая пути нахождения вероятности одних случайных событий на основании знания вероятности других случайных событий, с которыми каким-либо образом связаны первые случайные события. Теорию вероятностей называют также [1867] математической наукой, выясняющей закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов.
Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII в. Впервые интерес к исчислению вероятностей появился в связи с подсчетом вероятностей в азартных играх, подобных играм в карты и кости. Выяснению количественных закономерностей игровых ситуаций и были посвящены первые работы в этой области Б. Паскаля, П. Ферма и X. Гюйгенса. В начале XVIII в. Я. Бернулли в труде, опубликованном (1713) после его смерти, установил (для весьма узкого класса массовых случайных событий) закон больших чисел, согласно которому, в современном понимании существа этого закона, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая. Известная теорема Бернулли говорила, что при независимых испытаниях частота появления какого-либо события, как правило, мало отклоняется от его вероятности. Развитие теории вероятностей в XVIII — начале XIX в. было связано
с развитием естествознания и техники (в частности, применение теории вероятности в страховом деле, в статистике народонаселения, в артиллерийской стрельбе и др.). В это время были доказаны первые предельные теоремы П. Лапласом (1812) и С. Пуассоном (1837), разработан А. Лежандром (1806) и К. Гауссом (1808) способ нахождения квадратов — способ нахождения наилучшего приближения действительных величин или функций по результатам совокупности наблюдений. Во второй половине XIX в. теория вероятностей развивалась преимущественно русскими математиками — П. Л. Чебышевым, А. М. Ляпуновым и А. А. Марковым (старшим), которые преобразовали теорию вероятностей в стройную математическую науку. Чебышев впервые сформулировал (1887) центральную предельную теорему для сумм независимых случайных величин и указал один из методов ее доказательства. В XIX и особенно в XX в. теория вероятностей применяется в физике, астрономии и многих других пауках, а также в технике. В 1907 г. Марков впервые рассмотрел один случай зависимых испытаний, который впоследствии получил название цепей Маркова, применяющихся при изучении последовательности зависимых испытаний и связанных с ними случайных величин. В цепях Маркова рассматриваются [1866] системы, которые могут с теми или иными вероятностями переходить из одного состояния в другое. Во второй половине XIX в. и в первой половине XX в. в Зап. Европе теория вероятностей развивалась в трудах Э. Бореля, П. Леви, М. Фреше, Н. Винера, Г. Крамера и др. В нашей стране, которая занимает ведущее положение в ряде направлений теории вероятностей, в это время вышли многочисленные труды С. Н. Бернштейна, В. И. Романовского, А. Я. Хинчина, А. Н. Колмогорова, Б. В. Гнеденко, Е. Е. Слуцкого, Н. В. Смирнова и др.
Исследование массовых случайных явлений имеет важное практическое значение. В качестве примеров подобных массовых случайных явлений могут служить: совокупность молекул некоторого тела? появление какой-то определенной буквы в исследуемом тексте найденного древнего документа, рождение ребенка определенного пола (кстати сказать, теперь установлено, что вероятность новорожденного быть мальчиком равна 0,515) и др. Дело в том, что в массовых случайных событиях особую роль играют не индивидуальные, а наиболее общие свойства событий, в отношении которых могут они рассматриваться как эквивалентные друг другу [45, стр. 51]. Так, для термодинамических характеристик системы, конкретно — ее температуры, важно не «поведение» каждой молекулы, а их распределение по скоростям.
На ряде примеров математической вероятности А. Н. Колмогоров показывает основные подходы к определению численного значения вероятности и основные понятия теории вероятностей. В некоторых случаях (см. [1868]) численное значение вероятности получается из «классического» определения вероятности: «вероятность равна отношению числа случаев, «благоприятствующих» данному событию, к общему числу «равно-возможных» случаев». Так, если из 10 млн. облигаций государственного выигрышного займа, на которые в одном тираже должен выпасть один выигрыш максимального размера, в данном городе размещено 500 тыс. облигаций, то вероятность того, что максимальный выигрыш достанется жителю данного города, равна 500 000/10 000 000 = ^20.
Но возможны более сложные случаи, и тогда численное определение значения вероятности решается с помощью статистического подхода. Так, если при 100 попытках стрелок попал в цель 39 раз, то можно думать, что для него вероятность попадания в цель при" данных условиях приблизительно равна %о. И что интересно: чем больше число повторений заданных условий (обозначим их буквой п), тем реже встречаются сколько-нибудь значительные отклонения частоты т от вероятности р (буквой т в данном случае обозначается доля случаев, в которых данное событие появится).
Это обстоятельство А. Н. Колмогоров поясняет на примере бросания монеты, в котором вероятность появления «герба» и «надписи» одинаковы и равны 1/г-При десяти бросаниях (п = 10) появление десяти «гербов» или десяти «надписей» очень мало вероятно. Нет достаточных оснований и для того, чтобы утверждать, что «герб» выпадет ровно пять раз. Более того, утверждая, что «герб» выпадет 4 или 5, или 6 раз, мы еще довольно сильно рисковали бы ошибиться. Но при ста бросаниях монеты можно уже без практически ошутимого риска заранее утверждать, что число «гербов» будет лежать между 40 и 60. Но если количество бросаний монеты перейдет за тысячу и больше, то частота выпадения герба почти сравняется с частотой выпадения решетки. Как сообщается в [1889], Бюффон в XVIII в. провел 4040 подбрасываний монеты, из них герб выпал 2048 раз, так что частота выпадения герба оказалась равной 0,508. Пирсон провел 24000 бросаний симметричной монеты; герб выпал 12 012 раз, что означает частоту выпадения герба, равную 0,5005.

ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ — теоремы математической логики, предложенные австрийским логиком и математиком Куртом Гёделем (р. 1906). Среди предложенных им теорем особое значение имеют две следующие теоремы:
1) О неполноте формальных систем — так называемая первая теорема Гёделя — теорема о неполноте: существует такое суждение А в Zlt что ни А, ни А не могут быть доказаны посредством аксиом из Zlt если эта система непротиворечива.
Эта теорема впервые была изложена в статье Гёделя <<0 формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем» (1931). В данной статье на примере анализа формальной системы, сформулированной в трехтомном труде английских математиков и логиков А. Уайтхеда и Б. Рассела «Principia Mathematica» (1910—1913), Гёдель показал, что в содержательных формальных системах имеются неразрешимые предложения, т. е. предложения, которые недоказуемы и одновременно неопровержимы. Теорема Гёделя о неполноте, пишет П. Коэн, «нанесла смертельный удар по программе Гильберта» [1542, стр. 77].
Эту теорему, которая называется теоремой о неполноте формализованной арифметики, Г. И. Рузавин [1525] кратко формулирует так: если формальная арифметическая система просто непротиворечива, то она неполна, т. е. в ней всегда можно построить некоторую формулу Ф, которая будет неразрешима в системе. Из этой первой теоремы Гёделя вытекал такой вывод: содержательную арифметику нельзя формализовать полностью. Важное логическое и теоретико-познавательное значение теоремы Гёделя о неполноте заключается в том, что она выявила невозможность полной формализации человеческого мышления.
2) О невозможности доказать непротиворечивость* формальной системы средствами самой системы —? так называемая вторая теорема Гёделя. Эта теорема гласит: «Невозможно доказать непротиворечивость формально заданной (отграниченной) теории, содержащей чистую теорию чисел (в том числе ее самой), с помощью вспомогательных средств самой рассматриваемой теории (при условии, что эта теория действительно непротиворечива)» (цит. по [969]). Данную теорему С. Клини определяет как следствие из первой теоремы. Чтобы доказать непротиворечивость формализованной арифметики, надо применить более сильные методы, чем те, которые допустимы в данной системе. Можно, конечно, привлечь для доказательства непротиворечивости данной системы методы более мощной системы, но сама эта более мощная система также не может доказать свою непротиворечивость своими методами, а значит требуется следующая более мощная система. Характеризуя эту цепь формальных систем, Г. И. Рузавин пишет: «получается целая иерархия формальных систем, каждая из которых будет превосходить предшествующую по силе средств формализации. На основании этого, на наш взгляд, можно утверждать, что полная формализация не может быть завершена на каком-то определенном историческом этапе развития математики».