ПАРАДОКС ЛЖЕЦА — один из семантических парадоксов, который излагается так:
Некто говорит: «Я лгу». Если он при этом лжет, то сказанное им есть ложь, и, следовательно, он не лжет. Если же он при этом не лжет, то сказанное им есть истина, и, следовательно, он лжет. В любом случае оказывается, что он лжет и не лжет одновременно [1779].
Удовлетворительного и ясного решения этого парадокса в литературе не встречается. По нашему мнению, дело здесь заключается в том, что к словам «Я лгу», взятым вне связи с конкретным объектом, о котором лжет, сказавший слова «Я лгу», неприложимы понятия «истина» и «ложь». В самом деле, чтобы определить — истина или ложь заключена в словах «Я лгу», надо знать, о чем же идет речь, о чем он лжет? А если отнести слова «Я лгу» к определенному объекту, то никакого парадокса не получается.
Возьмем к примеру такой случай. Кто-то сказал: «Я лгу, когда говорю, что философ Джордж Беркли — идеалист». Что можно сказать о таком суждении? Оно ложно: философ Джордж Беркли — идеалист. Теперь допустим, что сказавший слова «Я лгу, когда говорю, что философ Джордж Беркли — идеалист», лжет. Словесно это можно выразить так: «Я лгу, когда говорю, что я лгу, что философ Джордж Беркли — идеалист». Что можно сказать об этом суждении? Оно выражает истину, подтверждая, что философ Джордж Беркли — идеалист.
А теперь рассмотрим второе условие, записанное в парадоксе: сказавший слова: «Я лгу, когда говорю, что философ Джордж Беркли — идеалист», не лжет. Словесно это можно выразить так: «Я не лгу, когда говорю, что я лгу, что философ Джордж Беркли — идеалист». Но это только оставляет в силе ложное суждение «Я лгу, когда говорю, что философ Джордж Беркли — идеалист». Выходит, что никакой парадоксальной ситуации — «лжет и не лжет одновременно» — не получается, если слова «Я лгу» будут взяты в связи с конкретным содержанием.

МНОГОЗНАЧНАЯ ЛОГИКА — область математической логики, в которой помимо принятых в двузначной логике обычных значений истинности высказываний (см.) — «истинно» и «ложно» — допускается много значений истинности. А. А. Зиновьев называет многозначу ной логикой прежде всего совокупность логических исчислений (исчислений высказываний и предикатов), в которых высказываниям может приписываться «более двух истинностных значений, а в общем случае — любое конечное или счетное бесконечное множество значений, так что традиционное «истинно» и «ложно» оказываются лишь частными случаями таких значений» [96, стр. 11].
Первой многозначной логикой была трехзначная логика, разработанная в 1920 г. польским логиком Я. Лу-касевичем (1878—1956). В качестве третьего значения истинности высказывания было введено значение, выражаемое словами «возможно», «нейтрально». О каждом высказывании можно сказать: «высказывание либо истинно, либо ложно, либо нейтрально». В следующем году систему многозначной логики построил, независимо от Лукасевича, американский логик Э. Л. Пост.
На основании трехзначной логики Лукасевич построил систему модальной логики (см.), в которой исследуются логические операции с высказываниями, выражающими значения «возможности», «невозможности» и т.п. Через 34 года он построил систему четырехзначной логики, а затем и бесконечнозначную логику. В настоящее время разрабатываются и-значные логики, в которых высказываниям приписывается любое конечное и бесконечное множество значений истинности.
Многозначные логики находят применение при решении парадоксов классической математической логики, в квантовой механике, в теории релейно-контактных схем. Но применяя многозначную логику, необходимо все время иметь в виду, что введение таких истинностных значений, как «вероятность», «возможность», «невероятность», «невозможность» и т. п., не снимает основной проблемы — установления истинности или ложности суждений. Вероятные, возможные и т. п. суждения двигают науку к познанию истины, но ограничиваться только такими суждениями ни одна наука не может.
Прогресс в области развития многозначной логики, замечает А. А. Зиновьев [1566], развивается медленно. Это он объясняет рядом следующих причин: 1) сама идея многозначности высказываний многим лицам до сих пор кажется чем-то еретическим, надуманным; 2) потребности современной техники в многозначной логике пока еще слабо проявляются; 3) преимущества многозначной логики в решении проблем логики пока еще не обнаружили себя достаточно широко и убедительно. Видимо, не без оснований крупнейший знаток современной математической логики С. Клини пишет в своей новой книге «Математическая логика» (1967, рус. пер. 1973), что «вопрос о том, не является ли и-значная логика при и ^ 2 лишь интеллектуальным упражнением, все еще остается спорным» [1963, стр. 65].
Проблемы многозначной логики и ее применения в науке и технике разрабатываются в трудах Э. Поста, Б. Россера, А. Туркетта, С. Яблонского, Д. Бочвара, Г. Биркгофа, Д. Неймана, Г. Рейхенбаха, В. Шеста-кова, Г. Моисила, Т. Майстровой и др.

ИДЕАЛИЗАЦИЯ (греч. idea — идея, понятие) — один из видов абстрагирования (см.), в результате которого создаются понятия идеализированных объектов (идеальных), как, напр., «геометрическая линия», «идеальный газ», «абсолютно черное тело» и т. п.
Такие понятия отличаются от остальных понятий том, что в них отражаются, наряду с признаками, присущими реальным объектам, признаки, которые значительно отходят от реальных свойств и в чистом виде совершенно отсутствуют в исследуемых объектах. Действительно, идеальный газ существует только в абстракции. В природе не найти евклидовой «точки», которая не имела бы ни частей, ни величины. Но для целей науки такое понятие необходимо, так как оно упрощает и облегчает решение задач.
Образование подобных понятий достигается посредством предельного абстрагирования от свойств реальных предметов. Предельпого, но не абсолютного. Всякая научная идеализация в конечном счете обязана своим возникновением объективному миру и отображает его. Это отличает научную идеализацию от беспочвенных, бесплодных фантазий разного рода прожектёров, представителей религии и реакционных идеалистических философских систем.
Истинность идеализации проверяется общественной практикой, опытом, экспериментом. Идеализация связана с другими видами абстракции, такими, как абстракция отождествления, аналитическая и др.
В более широком смысле термин «идеализация» употребляется в том случае, когда хотят представить кого-либо или что-либо в более лучшем свете, более совершенным, чем объект обсуждения является на самом деле, в действительности.

ФОМА АКВИНСКИЙ (1225/6—1274) — итальянский католический теолог-схоласт, монах-доминиканец. Фома пытался приспособить аристотелевскую философию к христианскому вероучению. С этой целью он преобразовал концепцию Аристотеля (384—322), выбросив из нее все материалистические моменты. Им написаны комментарии к сочинениям Аристотеля, изданные в пяти томах. По словам А. О. Маковельского [528, стр. 276], Фома окончательно «охристианизировал» Аристотеля и за это церковью был признан святым (в 1323 г. он был канонизирован папой Иоанном XXII).
Вопросы логики рассматриваются Фомой в таких сочинениях, как «О природе рода», «О природе акциденции», «О модальных суждениях», «О заблуждениях» и др. В теории универсалий (см.) он придерживался умеренного реализма (см.), согласно которому обшие понятия существуют раньше единичных вещей, но затем выступают в своих вещах в виде сущности и потом снова вне вещей как понятия человеческого ума. Фома не отрицал роли чувственного познания, но считал его «пассивным». Активное познание возможно только посредством разума. Помимо истин разума теолог признавал существование истин откровения, познание которых основано только на вере.
Согласно [462, стр. 121], Фома Аквинский предвосхитил лейбницевское определение тождества: «два предмета тождественны, если они обладают следующим свойством: все, что приписывается одному из них, может быть приписано и другому». Фома знал такие логические функторы модальных предложений, как «необходимо», «возмояшо», «невозможно», «случайно», «истинно» и «ложно». Умозаключения он разделял на четыре группы: аподиктические, диалектические (вероятностные), умозаключения для спора и софистические.

ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ — теоремы математической логики, предложенные австрийским логиком и математиком Куртом Гёделем (р. 1906). Среди предложенных им теорем особое значение имеют две следующие теоремы:
1) О неполноте формальных систем — так называемая первая теорема Гёделя — теорема о неполноте: существует такое суждение А в Zlt что ни А, ни А не могут быть доказаны посредством аксиом из Zlt если эта система непротиворечива.
Эта теорема впервые была изложена в статье Гёделя <<0 формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем» (1931). В данной статье на примере анализа формальной системы, сформулированной в трехтомном труде английских математиков и логиков А. Уайтхеда и Б. Рассела «Principia Mathematica» (1910—1913), Гёдель показал, что в содержательных формальных системах имеются неразрешимые предложения, т. е. предложения, которые недоказуемы и одновременно неопровержимы. Теорема Гёделя о неполноте, пишет П. Коэн, «нанесла смертельный удар по программе Гильберта» [1542, стр. 77].
Эту теорему, которая называется теоремой о неполноте формализованной арифметики, Г. И. Рузавин [1525] кратко формулирует так: если формальная арифметическая система просто непротиворечива, то она неполна, т. е. в ней всегда можно построить некоторую формулу Ф, которая будет неразрешима в системе. Из этой первой теоремы Гёделя вытекал такой вывод: содержательную арифметику нельзя формализовать полностью. Важное логическое и теоретико-познавательное значение теоремы Гёделя о неполноте заключается в том, что она выявила невозможность полной формализации человеческого мышления.
2) О невозможности доказать непротиворечивость* формальной системы средствами самой системы —? так называемая вторая теорема Гёделя. Эта теорема гласит: «Невозможно доказать непротиворечивость формально заданной (отграниченной) теории, содержащей чистую теорию чисел (в том числе ее самой), с помощью вспомогательных средств самой рассматриваемой теории (при условии, что эта теория действительно непротиворечива)» (цит. по [969]). Данную теорему С. Клини определяет как следствие из первой теоремы. Чтобы доказать непротиворечивость формализованной арифметики, надо применить более сильные методы, чем те, которые допустимы в данной системе. Можно, конечно, привлечь для доказательства непротиворечивости данной системы методы более мощной системы, но сама эта более мощная система также не может доказать свою непротиворечивость своими методами, а значит требуется следующая более мощная система. Характеризуя эту цепь формальных систем, Г. И. Рузавин пишет: «получается целая иерархия формальных систем, каждая из которых будет превосходить предшествующую по силе средств формализации. На основании этого, на наш взгляд, можно утверждать, что полная формализация не может быть завершена на каком-то определенном историческом этапе развития математики».

СОПОДЧИНЕННЫЕ ПОНЯТИЯ — понятия, подчиненные в равной степени одному общему понятию; объемы соподчиненных понятий составляют самостоятельные, т. е. не совпадающие друг с другом части родового понятия, и которые в равной мере подчинены этому родовому понятию (напр., понятия «живопись», «поэзия», «музыка», «скульптура», являются понятиями, соподчиненными одному родовому понятию «искусство»).
Соподчиненные понятия, таким образом, в равной мере подчинены одному понятию. Но объемы соподчиненных понятий различны. Так, понятия «завод» и «совхоз» — соподчиненные понятия, но они отображают различные предприятия нашего социалистического хозяйства.
Каково же содержание соподчиненных понятий? Соподчиненные понятия — «завод» и «совхоз» — имеют часть общих признаков, являющихся признаками подчиняющего понятия (все они являются собственностью социалистического государства; на них трудятся рабочие, инженеры и служащие). В ряде других признаков соподчиненные понятия отличаются одно от другого. Так, завод — это промышленное предприятие, а совхоз — сельскохозяйственное предприятие.
Соподчиненные понятия отображают виды одного рода. Так, и рефрактор и рефлектор — это оптические приборы для наблюдения небесных тел. Но в то же время каждое соподчиненное понятие имеет еще и свои собственные признаки, отличающие его от других видовых понятий. Рефрактор это телескоп со светопреломляющими линзами, а рефлектор это телескоп с отражательным вогнутым зеркалом.
Признак, по которому один вид отличается от других видов одного и того же рода, называется признаком видового отличия (differentia specifica).
Наглядно отношение между соподчиненными понятиями можно изобразить так (см. рисунок): большой круг изображает объем подчиняющего понятия; малые круги — отношения между объемами соподчиненных понятий:
Соподчиненные понятия могут быть совместимыми понятиями (напр., понятия «токарь» и «слесарь») и несовместимыми понятиями (напр., понятия «круг» и «треугольник»).
При оперировании соподчиненными понятиями надо иметь в виду следующие правила:
1. Соподчиненные понятия должны быть ближайшими видами одного общего рода.
Это правило соблюдено, напр., в следующем высказывании: «Облака могут быть слоистыми, кучевыми и перистыми», но оно нарушено п таком, напр., ответе ученика: «Геометрические фигуры могут быть треугольниками, параллелограммами, ромбами, конусами». Дело в том, что ромб является ближайшим видом не геометрической фигуры, а параллелограмма. Перечисляя виды геометрических фигур, ученик взял понятия разной степени общности. Ошибка, которая часто допускается, сводится к тому, что одному общему родовому понятию соподчиняются несколько видовых понятий, но взятых из разных родов.
2) Соподчиненные понятия не должны быть перекрещивающимися понятиями.
Примером нарушения этого правила может служить следующее высказывание: «Числа бывают целые, дробные и именованные». Но ведь известно, что и целые и дробные числа могут быть именованными, а могут быть и неименованными.

РАЗЛИЧИЕ — один из приемов ознакомления с предметом в тех случаях, когда определение понятия невозможно или не требуется, заключающийся в том, что в сравниваемых понятиях выделяются на первое место различные признаки. Этот прием использует Н. Г. Чернышевский, напр., при ознакомлении с Лопуховым и Кирсановым. «У него, как и у Лопухова, были правильные, красивые черты лица. Одни находили, что красивее тот, другие — этот. У Лопухова, более смуглого, были темнокаштановые волосы, сверкающие карие глаза, казавшиеся почти темными, орлиный нос, толстые губы, лицо несколько овальное. У Кирсанова были русые волосы довольно темного оттенка, темноголубые глаза, прямой греческий нос, маленький рот, лицо продолговатое, значительной белизны. Оба они были люди довольно высокого роста, стройные, Лопухов несколько шире костью, Кирсанов несколько выше». Различение показывает отличие предметов не от всех других однородных предметов, но только от некоторых наиболее сходных с ним (напр., «представление отличается от восприятия тем, что содержит больше элементов обобщения»).

РАЗВИТИЕ — неотъемлемый важнейший атрибут материи, процесс движения, изменения, восхождения от низшего к высшему, от простого к сложному; развитие — это не просто увеличение, количественный рост, а переход от старого к новому качественному состоянию. Имеются, говорит В. И. Ленин, две концепции развития: 1) развитие как уменьшение и увеличение, как повторение, и 2) развитие как единство противоположностей. Первая концепция оставляет в тени самодвижение, источник развития, вторая концепция, наоборот, раскрывает движущую силу развития, самодвижения. «Первая концепция,— пишет В. И. Ленин,— мертва, бледна, суха. Вторая — жизненна. Только вторая дает ключ к „самодвижению" всего сущего; только она дает ключ к „скачкам", к „перерыву постепенности", к „превращению в противоположность", к уничтожению старого и возникновению нового» [14, стр. 317].
Мышление есть результат развития материи — от лежащего в фундаменте материи свойства отражения, через элементарные формы мышления, свойственные высшим видам животным, к абстрактному, человеческому, речевому мышлению, возникшему в процессе производственной практики и в связи с развитием языка, второй сигнальной системы.

ПРОДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ — четвертый основной тип умозаключений в предложенной русским логиком Л. В. Рутковским (1859—1920) классификации умозаключений. Продуктивными он называет те умозаключения, когда «усмотрев в предмете наблюдения какой-либо признак или вообще получив какое-либо определение данного предмета, мы без дальнейшего опыта приписываем этому предмету новое определение в силу того, что ому присуще данное в основном суждении определение» [126, стр. 91]. _
Первой модификацией умозаключений продуктивного типа Рутковский считает ту, где обосповывакпцее суждение (см.) утверждает сосуществование известных свойств или признаков, если дан один из них, то даны и другие
Самым блистательным примером этой модификации он называет работы Кювье, который по одному остатку зуба от древнего вымершего животного восстанавливал целый организм. К данной модификации Рутковский относит разделительные силлогизмы (см.) и выводы на основании современности, сов-Местности и равенства двух предметов одному и тому же третьему (см. Суждения отноисения). Определив какой-нибудь предмет как современный, совместный или равный другому, мы, говорит Рутковский, определяем его же как современный, совместный или равный третьему в силу того, что второй предмет современен, совместен или равен третьему.
Если первая группа продуктивных выводов основана на сосуществовании двух признаков, то вторая группа основывается на единообразии сопоследования признаков, которые служат сказуемым основного и выводного суждений (см. Основное суждение, Выводное суждение). Причем эти отношения сопоследования или преемства явлений могут быть, говорит Рутковский, двух родов: одни выражают простую последовательность во времени, а другие — причинную зависимость явлений. Простая последовательность, утверждает Рутковский, не однозначна с отношением причины к действию. Никто не станет уверять, говорит он, что нагота новорожденного голубя есть Причина, обусловливающая характер его будущего оперения. И все же очень важно установить законы этой последовательности, так как это дает возможность по настоящему данного явления делать заключения о его прошедшем или будущем.
Отношение причинной зависимости, по Рутковскому,— это отношение не простой, а безусловно неизменной последовательности. Но подобно выводам на основании простой последовательности, заключения на основании причинной зависимости также касаются, в большинстве случаев, либо прошедшего, либо будущего той вещи, о которой делается заключение. В Зависимости от того, отправляется ли исследователь от свойст ва-причины или от производного свойства, соответственно строятся и выводы.
Рутковский приводит два примера из книги Данилевского «Дарвинизм». Известно, говорит он, что употребление в пищу конопляного семени делает снегирей и некоторых других птиц черными. Этот факт свидетельствует о существовании причинной зависимости между употреблением снегирями в пищу конопляного семени и черной окраской их оперения. Любитель Птиц рассуждает при этом так: из того, что данный снегирь питается конопляным семенем, следует, что он приобретает Черное оперение, так как питание конопляным семенем есть причина (точнее: одна из причин) черного оперения. Таков пример заключения от наличности свойства-причины к предстоящему появлению производного свойства.
Можно заключать от наличности производного свойства к Существованию в прошедшем свойства-причины. Так, говорит Рутковский, известен факт уменьшения величины и толщины морских раковин одних и тех же видов, если они живут в сла-босоленой воде, напр., в Балтийском море. На основании этого факта можно сделать заключение, что из двух данных морских раковин одного и того же вида раковина, имеющая меньшую неличину и толщину, жила в слабосоленой воде.
Термин «продукция» для обозначения этого нового типа умозаключения образован Рутковским следующим образом. Он сохранил, для однообразия, тот же латинский корень due, который имеют уже в своем составе термины традукция, индукция и дедукция и которыми были обозначены уже известные в то время типы умозаключения. Затем он подыскал приставку, с помощью которой можно выразить специфический оттенок нового типа умозаключения. Поскольку в продуктивном умозаключении при замещении одного отдельного определения Я13уМШ отдельным же Определением наша мысль как бы прогрессирует, идет вперед в деле изучения предмета со стороны приложпмых к нему определений, переходя от дознанного уже определения к определению еще недознанному, то к корню аис прибавляется приставка pro, означающая поступательное движение вперед.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — чувственно-наглядный образ предметов и явлений объективного мира, которые воспринимались нами ранее, но которые в данный момент непосредственно не воздействуют на наши органы чувств. Представление, так же как ощущение и восприятие, есть в конечном счете результат воздействия предметов материального мира на органы чувств. В основе каждого представления лежит восприятие предмета в прошлом, предшествующий опыт человека. Физиологической основой представления является действие создавшихся ранее временных связей в коре головного мозга.
Но представление, в котором воспроизводятся образы уже воспринимавшихся предметов и явлений, является более высокой формой психической деятельности человека, чем ощущение и восприятие. Образы предметов и явлений, воздействовавших на наши органы чувств в прошлом, как правило, воспроизводятся в переработанном виде. При этом человек может мысленно представить себе не только отдельные образы тех конкретных предметов, которые воздействовали на органы чувств в прошлом, но и сгруппировать эти отдельные образы в более сложные представления.
Огромное значение представлений заключается в том, что в них имеются элементы обобщении не только тех отдельных предметов и явлений, которые в данный момент воздействуют на наши органы чувств, но и предметов и явлений внешнего мира, которые воспринимались в прошлом. Сопоставление же прошлого с настоящим дает возможность заметить ход развития сопоставляемых явлений и предметов и с помощью воображения получить представление о будущем. Это освобождает человека от ограниченности наглядного, непосредственного образа предмета, который имеется в ощущениях и восприятиях. Если бы человек не мог восстановить образы предметов, воздействовавших в прошлом, и вообразить на основании познания хода развития предметов перспектив изменения предметов в будущем, то знания его были бы крайне убоги, они ограничивались бы лишь восприятием единичного, непосредственно данного. Представление тем и отличается от ощущения и восприятия, что оно содержит больше элементов обобщения.
Но и представления являются еще такими образами, которые не раскрывают внутренних связей предметов. Даже в общих представлениях отображаются преимущественно внешние связи и отношения предметов и явлений, существенное еще не абстрагировалось, не выделилось из массы несущественного. Представления, так же как ощущения и восприятия, являются еще только той базой, на которой складываются мысленные образы вещей.