ПАРАДОКС ЛЖЕЦА — один из семантических парадоксов, который излагается так:
Некто говорит: «Я лгу». Если он при этом лжет, то сказанное им есть ложь, и, следовательно, он не лжет. Если же он при этом не лжет, то сказанное им есть истина, и, следовательно, он лжет. В любом случае оказывается, что он лжет и не лжет одновременно [1779].
Удовлетворительного и ясного решения этого парадокса в литературе не встречается. По нашему мнению, дело здесь заключается в том, что к словам «Я лгу», взятым вне связи с конкретным объектом, о котором лжет, сказавший слова «Я лгу», неприложимы понятия «истина» и «ложь». В самом деле, чтобы определить — истина или ложь заключена в словах «Я лгу», надо знать, о чем же идет речь, о чем он лжет? А если отнести слова «Я лгу» к определенному объекту, то никакого парадокса не получается.
Возьмем к примеру такой случай. Кто-то сказал: «Я лгу, когда говорю, что философ Джордж Беркли — идеалист». Что можно сказать о таком суждении? Оно ложно: философ Джордж Беркли — идеалист. Теперь допустим, что сказавший слова «Я лгу, когда говорю, что философ Джордж Беркли — идеалист», лжет. Словесно это можно выразить так: «Я лгу, когда говорю, что я лгу, что философ Джордж Беркли — идеалист». Что можно сказать об этом суждении? Оно выражает истину, подтверждая, что философ Джордж Беркли — идеалист.
А теперь рассмотрим второе условие, записанное в парадоксе: сказавший слова: «Я лгу, когда говорю, что философ Джордж Беркли — идеалист», не лжет. Словесно это можно выразить так: «Я не лгу, когда говорю, что я лгу, что философ Джордж Беркли — идеалист». Но это только оставляет в силе ложное суждение «Я лгу, когда говорю, что философ Джордж Беркли — идеалист». Выходит, что никакой парадоксальной ситуации — «лжет и не лжет одновременно» — не получается, если слова «Я лгу» будут взяты в связи с конкретным содержанием.

ФАЗОВЫЙ СПОСОБ В ФОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ — опубликованный в 1944—1945 гг. Б. М. Кедровым аналитический способ изложения и трактовки основных вопросов формальной логики, основанный на полном исключении из пределов формальной логики момента генезиса изучаемых ею отношений и форм, в отличие от принятого в традиционной логике генетического способа, учитывающего последовательность логических операций. Традиционная логика, говоря о соотношении двух понятий, напр., «мужчина» и «ученый», сначала берет оба эти понятия отдельно, изображая каждое из них в виде круга, а затем на одно из них, обозначенное через А, налагает другое, обозначенное через В. В итоге получают два перекрестные понятия. Здесь указывается на происхождение логического отношения.
Иначе это Б. М. Кедров решает с помощью фазового способа. В этом случае готовое соотношение рассматривается с точки зрения входящих в него элементов, играющих роль как бы логического «состава» соответствующих понятий, суждений, умозаключений. При этом полностью отвлекается от того, каким путем возникло соотношение; оно берется как данное, законченное. Напр., отношение понятий «мужчина» (понятие А) и «ученый» (понятие В) трактуется не как возникшее путем наложения одного из них на другое, но как уже готовое соотношение, причем не просто двух названных понятий, а трех их составных частей (или фаз): 1) области понятия А, где нет наложения с В, 2) области понятия В, где нет наложения с А, и 3) области взаимного наложения А и В.
Обозначив отличительный признак понятия А через а и понятия В через Ь, Б. М. Кедров выражает состав рассмотренного отношения следующей формулой: а + Ь + ab. Та область, которая образована одним понятием, напр., чистым понятием А (мужчины — неученые), характеризуется лишь одним признаком (о), тогда как область перекрещивания А и В характеризуется присутствием одновременно обоих признаков о и Ь. Каждую такую область, состав которой характеризуется определенным, свойственным лишь ей одной, сочетанием признаков, В. М. Кедров называет «фазой» и соответственно весь способ — фазовым.
Б. М. Кедров считает, что с помощью фазового способа ряд логических операций с понятиями получает общее выражение и весьма простое объяснение. Так, определение понятия через ближайший род и видовое отличие предполагает оперирование с системой полного включения, что показано в первой строчка таблицы, ш. е. с отношением двух понятий, выраженным формулой ab + о, где а — признак родового понятия, ь — признак видового понятия. Согласно фазовому способу, задача операции сводится к тому, чтобы в этой формуле раскрыть первый член (состав двойной фазы аЬ), показав, каким образом признак а (родовой) дополняется признаком Ь (видовым). Соответственно рассматриваются и все другие логические операции. Фазовый способ не лишен, конечно, известного интереса, но научную ценность и жизненность его, как и любой теории должна доказать практика.

«ПШЕННОЕ ЗЕРНО» — название одного из зеноновских парадоксов (апорий — см.), в котором подвергается сомнению мысль об истинности чувственного восприятия. Содержание этого парадокса так передает Симплиций: «В самом деле, Протагор, молвил он [Зе-нон], скажи мне, производит ли при падении шум одно пшенное зерно или одна десятитысячная часть зерна?» Когда же тот ответил, что не производит, (Зенон), сказал: «А медимн [медимн — греческая мера сыпучих
тел около 52 литров__Н. К.'] пшена при падении производит шум или нет?» Когда тот ответил, что медимн производит шум, Зенон сказал: «Что же, следовательно, не существует количественного отношения между медийном пшена и одним (целым) пшенным зерном или десятитысячной частью одного?» Когда же тот сказал, что (количественное отношение между ними) существует, Зенон сказал: «Что же, не будут ли и у шумов те же самые взаимные отношения. Ведь как (относятся друг к другу предметы), производящие шум, так (относятся друг к другу и самые) шумы. А если это так, то, раз медимн пшена производит шум, произведет шум и одпо зерно и десятитысячная часть зерна»».

ПРАВИЛА ДЕЛЕНИЯ ОБЪЕМА ПОНЯТИЯ — четыре правила, изучаемые формальной логикой:
1) При одном и том же делении необходимо применять одно и то же основание. Напр., объем понятия «рабочий» можно разделить так: «слесарь», «токарь», «кузнец» и т. п., но не так: «слесарь», «член ДОСААФ», «рационализатор», ибо во втором случае деление идет по разным основаниям.
Нарушение этого правила издавна подвергается осмеянию. В одной старинной украинской комедии выведен персонаж, который, попав на ярмарку, так излагал свои впечатления по поводу увиденного: «Господи боже мой, чего только нет на той ярмарке! Колёса, стекло, дёготь, табак, ремень, лук, торговцы всякие... так что если бы в кармане было хоть тридцать рублей, то и тогда бы не закупить всей ярмарки».
Выбор того или иного основания в каждом делении определяется целями, которые ставит человек в процессе изучения предметов материального мира. Так, если биолога интересует клеточное строение животных, он берет за основание деления такой признак, как количество клеток в организме животного, и делит объем понятия «животное» на видовые понятия: «одноклеточное животное» и «многоклеточное животное»; если же у биолога появится необходимость исследовать животных с точки зрения температуры их крови, он разделит объем понятия «животное» на другие видовые понятия, а именно: «теплокровное животное» и «холоднокровное животное».
Иначе говоря, для того чтобы деление объема понятия имело практическую ценность, в качестве основания необходимо брать не случайный, первый попавшийся признак, а существенный признак. Важность соблюдения этого требования В. И. Ленин отмечает в первой своей работе — «Новые хозяйственные движения в крестьянской жизни» (1893) на примере деления объема понятия «крестьянство». В. И. Ленин пишет: «Признавая глубокую экономическую рознь в современном крестьянстве, мы не можем уже ограничиться одним разделением крестьян на несколько слоев по степени имущественного обеспечения. Такое разделение было бы достаточно, если бы все вышеуказанное разнообразие сводилось к различиям количественным. Но это не так. Если у одной части крестьян целью земледелия является коммерческая выгода и результатом крупный денежный доход, а у другой — земледелие не покрывает даже необходимых потребностей семьи, если высшие группы крестьян основывают свое улучшенное хозяйство на разорении низших, если зажиточное крестьянство в значительной степени пользуется наемным трудом, а бедное вынуждается прибегать к продаже рабочей силы,— то это уже, несомненно, качественные различия, и нашей задачей теперь должно быть группировать крестьянство по различиям в самом характере их хозяйств (разумея под характером хозяйства особенности не техники, а экономики)» [935, стр. 35—36]. При этом надо отметить, что В. И. Ленин логическое правило деления связывал с практикой. «Раз признано,— писал он,— что между отдельными хозяйствами замечаются различия не только количественные, а и качественные, является уже безусловна необходимым разделять крестьян на группы, отличающиеся не «достатком», а общественно-экономическим характером хозяйства. Позволительно надеяться, что земская статистика не замедлит сделать это» ?935, стр. 61—62].
2) Деление должно быть соразмерным, т. е. объем членов деления, вместе взятых, должен равняться объему делимого понятия. При перечислении по какому-нибудь признаку видовых понятий данного родового понятия, нужно непременно привести все виды, ни на один меньше, ни на один больше.
Данное правило деления предостерегает против двух ошибок: а) неполное деление (напр., при делении объема понятия «общественно-экономическая формация» в число видовых понятий включают «первобытнообщинный строй», «рабовладельческий строй», «капиталистический строй» и «социалистический строй», упуская, что есть еще «феодальный строй»); б) слишком широкое деление (напр., при делении объема понятия «хлебные злаки» к видовым понятиям, наряду с рожью, пшеницей, ячменем, овсом, относят также и полевицу, но полевица принадлежит к роду «кормовых злаков»).
3) Члены деления должны взаимно исключать друг друга. Согласно этому правилу каждый отдельный предмет должен находиться только в объеме одного какого-либо видового понятия и ни в коем случае не входить в объем другого видового понятия.
Нельзя, напр., расклассифицировать все целые числа на такие классы: а) числа, кратные двум, б) числа, кратные трем, в) числа, кратные пяти и т. д. В данном случае классы пересекаются. Число 10 при такой классификации надо поместить и в первый и в третий классы, а число 6 -?- ч в первый и во второй классы. Такая именно ошибка налицо и в следующей классификации треугольников: «треугольники бывают тупоугольные, разносторонние, равнобедренные и прямоугольные». Всегда, когда за основание деления принимается неясный признак, граница между классами отличается крайней неопределенностью, расплывчатостью.
4) Деление должно .быть непрерывным. Напр., объем понятия «позвоночные животные» делятся на такие классы: рыбы, земноводные, рептилии (гады), птицы и млекопитающие.
Каждый из этих классов делится на дальнейшие виды. Если же начать делить понятие «позвоночные животные» сразу на виды, минуя классы, то зтим самым будет нарушено четвертое правило деления объема понятия. Нарушение этого правила называется скачком в делении. Члены деления должны быть понятиями соподчиненными и непосредственно низшими по отношению к родовому понятию.
Правила деления объема понятия важно знать, так как делить объем понятия приходится и в процессе научного мышления и в практической жизни. Разумеется, что сами по себе правила не обеспечивают безусловную правильность деления понятий. Необходимо знание той науки, к которой относится понятие, объем которого подлежит делению. Делить можно тогда, когда знаешь содержание делимого понятия и его видов. Но знание правил деления объема понятия облегчит процесс деления и предохранит от возможных ошибок.
Деление объема понятия имеет большое практическое значение. Им приходится пользоваться в операциях С разделительными силлогизмами (см.), в разделительном косвенном доказательстве (см.) и т. д. Знание правил деления объема понятия особенно важно для тех, кто занимается какой-либо классификацией (см.). В процессе деления объема понятия иногда употребляется прием, который называется дихотомией (см.), т. е. делением надвое.

«ПОКРЫТЫЙ» — древнегреческий парадокс, изобретение которого приписывается греческому философу Евбулиду из Милета (IV в. до н. э.) и содержание которого сводится к следующему рассуждению:
— Знаешь ты этого покрытого человека?
— Нет.
— Но этот покрытый человек — твой отец; значит, ты не знаешь своего отца.
В версии Евбулида этот парадокс именуется «Электра» и может быть записан несколько иначе:
«Электра знает своего брата Ореста, но не знает, что вернувшийся (покрытый человек) есть ее брат Орест» [585].
В этом парадоксе, если с точки зрения традиционной логики его истолковывать как софизм, как будто бы имеет место двусмысленность глагола «знать». О покрытом человеке нельзя сказать, что мы его знаем или не знаем. На вопрос следовало точно отвечать так: «Так как этот человек покрыт, то мне неизвестно, знаю ли я его или нет». При таком ответе софизм разоблачается. Но это произойдет только в том случае, если парадокс «Покрытый» истолковать лишь на основе анализа его внешней формы (двусмысленность глагола «знать»)., Что касается внутреннего содержания этого
парадокса, то разгадка его представляет дело гораздо более трудное. Только Г. Фреге, как сообщает Н. И. Стяжкин [462, стр. 63], удалось разгадать этот парадокс с помощью его теории косвенного употребления имен предметов.

ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ ИМЕН — логические трудности, возникающие в этой теории в связи с применением ее основных принципов к тем или иным выражениям. Английский философ Б. Рассел приводит следующий пример. Допустим имеется такое предложение: «Георг IV желает знать, является ли Вальтер Скотт автором «Веверлея»». Согласно одному из основных принципов теории имен — принципу взаимозаменимости, в языковом выражении один термин можно заменить Другим, если оба они обозначают один и тот же объект. В рассматриваемом предложении имеются два таких термина: «Вальтер Скотт» и «автор «Веверлея»». Оба зти термина обозначают один и тот же объект. А теперь заменим термин «автор «Веверлея»» взаимозаменимым термином «Вальтер Скотт». В результате получим новое предложение: «Георг IV желает знать, является ли Вальтер Скотт Вальтером Скоттом». Но это предложение, как заметил Б. Рассел, не является истинным, так как Георг IV вовсе не хотел знать, верен ли частный случай закона тождества. «Парадоксальность ситуации заключается в том,— пишет В. Б. Родос, проанализировавший данный пример,— что, начав с истинного предложения и пользуясь только принципом взаимозаменимости, мы получили ложное предложение».

МАКСИМА (лат. propositio maxima — высший принцип) — обобщенная, глубоко содержательная, вобравшая в себя житейскую мудрость, опыт многих поколений людей и выраженная в краткой, четкой, изящной форме мысль, которая может служить эталоном (образцом) действий (поступков) и логических рассуждений для каждого как жизненное правило. Основоположники марксизма-ленинизма знали огромную силу остроумной мысли, живого слова и широко применяли максимы в своих речах, статьях, научных трудах. Так, прочитав книгу «Размышления, или Сентенции и максимы о морали» (Париж, 1789) французского писателя и философа, герцога Ф. Ларошфуко (1613—1680), К. Маркс выписал из нее несколько максим и включил их в письмо Ф. Энгельсу от 26 июня 1869 г. К. Маркс писал:
«Хороши еще следующие мысли:
«У нас у всех достаточно сил, чтобы перенести чужое несчастье».
«Старики потому так любят давать хорошие советы, что они уже не могут подавать дурные примеры».
«Короли поступают с людьми, как с монетами; они назначают им цену по своему произволу, и их приходится расценивать по назначенному курсу, а не по действительной стоимости».
«Когда пороки покидают нас, мы стараемся уверить себя, что это мы покинули их».
«Умеренность — это пассивность и леность души, тогда как честолюбие — это активность и рвение».
«Мы нередко относимся снисходительно к тем, кто тяготит нас, но мы никогда не бываем снисходительны к тем, кто тяготится нами».
«Любовники только потому никогда не скучают друг с другом, что они всегда говорят о себе»» [1600, стр. 261—262].
.В. И. Ленин любил максимы и щедро рассыпал их по своим сочинениям: «Кто сеет ветер, тот пожнет бурю» [1156, стр. 174]; «Кто не работает, тот не ест» [1136, стр. 311]; «Поднявший меч от меча погибнет» [1457, стр. 301]; «Боюсь данайцев, даже дары приносящих» [1131, стр. 19—20]; «Будьте мудры, как змеи, и просты, как голуби» [1700, стр. 202] и ми. др.
Много максим собрано в книгах: И. В. Гёте «Максимы и размышления» (1953), Козьмы Пруткова «Полное собрание сочинений»(1965), Г. К. Лихтенберга «Афоризмы» (1965), Л. Вовенарга «Размышления и максимы» (1746).

«КУЧА» — один из типичных парадоксов, открытый древнегреческим философом Эвбулидом из Милета (IV в. до н. э.) и обычно передающийся в таком изложении: «одно зерно кучи не составляет; «прибавив еще одно зерно, кучи не получишь; как же получить кучу, прибавляя каждый раз по одному зерну, из которых ни одно не составляет кучи» [562, стр. 111].
Н. И. Стяжкии в [462, стр. 63] так интерпретирует этот парадокс: в нем ставится «проблема о том, когда «не куча» переходит в «кучу», т. е. о том, существует ли фиксированное количество элементов, начиная с которого осуществляется указанный переход... По-видимому,— заключает он,— причиной возникновения парадокса является то обстоятельство, что здесь перестает действовать принцип математической индукции, поскольку отсутствуют условия применимости этого принципа».
Иногда, с точки зрения диалектической логики, полагают, что ошибка в данном рассуждении заключается в игнорировании одной из объективных закономерно^ стей, по которой изменения количества на определенной ступени вызывают качественные изменения. Так, Гегель в «Лекциях по истории философии» пишет: «Говорят, например, истратить грош, один талер не имеет никакого значения; но это «не имеет никакого значения» делает кошелек пустым, и это составляет важное качественное различие. Или если мы будем все больше и больше нагревать воду, то она при 80° Реомюра переходит внезапно в пар. Этого диалектического перехода друг в друга количества и качества ие признает наш рассудок. Он стоит на том, что качественное ие есть количественное, а количествеииое не есть качественное. Но в вышеприведенных примерах, выглядящих как шутки, заключается, таким образом, основательное рассмотрение важных определений мысли» [563, стр. 101—102].
«К ЧЕЛОВЕКУ» (лат. ad hominem) — такое средство убеждения, когда вместо обоснования истиниости или ложности рассматриваемого тезиса с помощью объективных аргументов все сводится к положительной или отрицательной характеристике личности человека, утверждение которого поддерживается или оспаривается. Этот вид убеждения может применяться в качестве дополнения к доказательству «в истине» (см.), но как самостоятельное доказательство оно считается логической ошибкой.

КЛАСС (лат. classis — группа) — совокупность объектов, имеющих один или несколько общих характеристических признаков. Признаки, в которых эти предметы сходны, называются общими признаками класса. Предметы, входящие в класс, называются элементами класса. Класс — это «нечто имеющее или могущее иметь элемент» [5, стр. 34]. Так, класс «общественно-экономические формации» состоит из следующих элементов: первобытнообщинная, рабовладельческая, феодальная, капиталистическая и коммунистическая формации.
Классы могут быть конечными (напр., класс планет Солнечной системы) и бесконечными (напр., класс всех четных чисел), неопределенными (напр., класс всех двудомных растений) и пустыми (когда класс не имеет в самом себе ни одного элемента, напр., класс «спортсменов, пробежавших стометровку за 8 секунд»). Класс может состоять и из одного элемента (напр., «Александр Македонский»).
Над классами можно производить такие логические действия, как сложение классов (A \J В) и умножение классов (А П В). Эти действия подчиняются законам коммутативности и ассоциативности (см. Коммутатив~ ности закон и Ассоциативности закон). Два класса являются тождественными, если они составлены в точности из одних и тех же элементов.
В логических операциях с элементами и классами нередко допускается такая типичная ошибка: то, что утверждается об элементах класса, переносится и на класс в целом, и, наоборот, то, что утверждается о классе в целом, переносится на элементы. Напр., утверждение, что «данный лес строевой» нельзя распространить на каждое дерево этого леса, так как в лесу могут быть и нестроевые деревья. Класс предметов — это нечто новое в сравнении с отдельными элементами.
В математической логике и математике [1528] термином «класс» обозначают произвольные совокупности объектов и отличают те классы, которые являются членами других классов, называя их множествами. Такие классы-множества могут состоять из индивидуумов. Их называют классами первой степени; классы, которые состоят не из индивидуумов, а из классов первой степени, называются классами второй степени. Индивидуальные предметы обозначаются малыми буквами латинского алфавита (а, Ь, с,...), а классы таких предметов —i прописными буквами латинского алфавита (А, В, С ...).
В [1779] также класс называется множеством, если он является элементом какого-нибудь класса, а класс не являющийся множеством, называется собственным классом. Следовательно, некоторые классы не являются множествами. «Множества,— говорится в этой работе,— предназначены быть теми надежными, удобными классами, которыми математики пользуются в своей повседневной деятельности; в то время как собственные классы мыслятся как чудовищно необъятные собрания, которые, если позволить им быть множествами (т. е. быть элементами других классов), порождают противоречия» [1779, стр. 178]. 1
Множество распадается не только на элементы, но и на подмножества (части), которые являются совокупностями элементов данного множества. Так, квадраты будут подмножеством множества прямоугольников. Принадлежность элемента множеству символически записывается так: «6М, что читается так: «а есть элемент множества М». Включение подмножества во множество символически выражается так: a CZ М., что читается так: «а есть часть М».
В логической литературе иногда [5, стр. 34—35] класс отож* дествляется с сингулярной пропозициональной функцией (см.), а принадлежность к классу — с выполнением этой сингулярной пропозициональной функции. Правда, как затем разъясняется, понятие класса, полученное таким отождествлением классов с сингулярными пропозициональными функциями не вполне совпадает с. содержательным представлением о классе, так как теперь нарушается принцип, согласно которому классы совпадают, если они имеют одни и те же элементы.
При отождествлении класса с сингулярной пропозициональной функцией необходимо учитывать также и элементы области определения класса (т. е. элементы, образующие область определения соответствующей сингулярной пропозициональной функции),| и только тогда, когда известно, что элементы области епределения одни и те же, сохраняется принцип, по которому для совпадения классов достаточно, чтобы у них были одни и те же элементы.
При этом подчеркивается, что те или иные отклонения от содержательнфго понятия класса все равно необходимы, так как при некоторых предположениях, от которых трудно отказаться, оно оказывается противоречивым и ведет к антиномиям (парадоксам — см.). Так, теория множеств Цермело сохраняет принцип совпадения множеств, имеющих одни и те же элементы, но эато вынуждена принести в жертву принцип, согласно которому всякой сингулярной пропозициональной функции соответствует множество. В случае отождествления класса с сингулярной пропозициональной функцией говорят об области определения класса, так же как говорят об области определения сингулярной пропозициональной функции. Эту область считают классом, областью определения которого является область определения данного класса и элементы которого совпадают с элементами этой области определения.
Как видно, в литературе по математической логике пока нет однозначного понимания понятий «класс» и «множество». Так, американский логик А. Чёрч, отметив в [5] то обстоятельство, что слово множество (совокупность) обычно употребляется как синоним класса, предупредил, что он не будет этого делать, так как слове множество имеет специальное содержание, несколько отличное от содержания слова класс. Класс, по А. Черчу,— это нечто, имеющее или могущее иметь элементы. Классы тождественны тогда и только тогда, когда они имеют в точности едни и те же элементы. В математической практике принято считать, замечает он, что каждой сингулярной (одноместной) пропозициональной форме (см.) соответствует определенный класс, а именно класс, элементами которого являются те значения свободной переменной (см.), для которой форма истинна.
В связи с формализованными языками (см.) оказывается, согласно Черчу, можно просто отождествить класс с сингулярной пропозициональной функцией, а принадлежность к классу — о выполнением этой сингулярной пропозициональной функции. Правда, тут же подчеркивается, что отождествление классов с сингулярными пропозициональными функциями не вполне совпадает с содержательным определением класса, так как нарушается принцип, согласно которому классы совпадают, если они имеют одни н те же элементы. Но те или иные отклонения от содержательного понятия класса необходимы, так как при некоторых предположениях оно оказывается противоречивым и Ведет к антиномиям. От класса А. Чёрч отличает свойство (см.) тем, что два свойства могут быть различными несмотря на то, что они епределяют один и тот же класс. Под классом, определяемым данным свойством, он понимает класс, элементами которого являются вещи, обладающие этим свойством.
Английокий математик П. Кон термином «класс» обозначает произвольные совокупности объектов, а множествами — те классы, которые являются членами других классов. Поэтому совокупность объектов он называет множеством тогда и только тогда, когда она находится в некотором отношении к какому-нибудь классу. Американский математик и логик Х.Карри говорит о Существовании класса, элементами которого являются множества, и что класс может быть элементом другого класса тогда и только тогда, когда он является множеством. При этом он предлагает ввести соглашение о том, что слишком обширные классы, напр., класс всех множеств, не могут (в предположении непротиворечивости теории) допускаться в качестве множеств.
Обычно же, особенно в популярной литературе, понятие «класс» отождествляется с понятием «множество». Но, как видав as изложенных выше взглядов крупных специалистов в об-
ласти математики и математической логики, необходимо в определенной форме проводить различие между этими понятиями, особенно в связи со специальной проблематикой и терминологией теории множеств.

ДУША (греч. psyche, лат. anima) — в обыденной речи термином «душа» называют совокупность психических явлений, в целом психику, сознание отдельного человека, т. е. свойство высокоорганизованной материи — мозга, способного отражать предметы объективной действительности в ощущениях, восприятиях, представлениях, суждениях, понятиях. Термин «душа» был введен еще первобытным человеком для обозначения непонятного ему явления смерти, когда при этом прекращалось дыхание или происходило обильное истечение крови (из человека как бы исходил «дух»). Впоследствии в религии и в идеалистической философии
«душа» стала изображаться как некая самостоятельная нематериальная, независимая от смертного тела бессмертная сущность, исходящая от бога или от «абсолютной идеи», т. е. от той же «боженьки».
Диалектический материализм и современное естествознание доказали полную несостоятельность религиозного идеалистического понимания души как нематериального, бестелесного начала. Мир, бытие по своей природе материально. Все предметы, явления, в том числе и сложные психические процессы,— это различные виды или же продукты вечно движущейся материи.