ФОРМАЛИЗОВАННАЯ ТЕОРИЯ — теория, изучающая объекты (материальные и идеальные) с помощью операций, совершающихся по правилам, которые определяются только формой принятых в данной теории знаков, представляющих объекты и их связи, отвлекаясь от внутренних закономерностей развития и изменения содержания исследуемых объектов. В отличие от неформализованной теории (интуитивной) в формализованной теории свойства элементарных понятий заданы точным аксиоматическим методом (см.). Язык формализованной теории (см. Формализованный язык) отличается от обычного языка точностью, однозначностью и отсутствием исключений. Алфавит языка формализованной теории составляется из знаков, назначение которых в какой-то мере сходно с назначением букв естественного языка. В качестве таких языков применяются индивидуальные переменные, замещающие исследуемые единичные объекты; предикаты, соответствующие отношениям между объектами; функторы, замещающие отображения и функции; вспомогательные знаки (скобки, запятые и т. п.).
Все выражения, предложения и понятия формализованной теории являются конечными последовательностями знаков. Сформированные конечные последовательности называются термами (см.) формализованной теории. Составляются эти последовательности с помощь» простых правил дедуктивного характера. Причем процесс дедукции, т. е. процесс выделения новых конечных последовательностей из принятых в формализованной теории аксиом, сведен к простым операциям, осуществляющимся чисти механически. Преимущество формализованной теории состоит также в том, что ее язык содержит систему логического анализа, позволяющую эффективно и быстро определить, является ли данный знак исходным, можно лп считать данную формулу правильно построенной, выводится ли данная формула из посылок и т. п. В результате, напр., в формализованных математических теориях, как это показано в [1836], в частности, в формализованной арифметике и в формализованной теории множеств, удалось избежать ряда парадоксов (см.), т. е. высказываний, приводящих к взаимоисключающим результатам, которые в равной мере доказуемы и которые нельзя отнести ни к числу истинных, ни к числу ложных.

РАЗДЕЛИТЕЛЬНОЕ КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО — один из видов косвенного доказательства (см.). Применяется в тех случаях, когда известно, что доказываемый тезис входит в число альтернатив, которые полностью исчерпывают все возможные альтернативы данной области.
Доказательство ведется следующим образом: последовательно исключаются все члены разделительного суждения, кроме одного, который и является доказываемым тезисом. Так, если установлено, что некоторое действие могло быть вызвано только одной из четырех причин — А, Б, В, Г и если, кроме того, выяснено, что ни А, ни Б, ни В не могли вызвать его, то, следовательно, причиной данного следствия является Г.
Употребляя данный вид доказательства, надо знать одну типичную ошибку, которая иногда допускается в ходе этого доказательства; исследуются не все возможные факты, между тем тезис истинен только при условии, что опровергнуты все возможные предположения по рассматриваемому вопросу, кроме одного.

ЭНТИМЕМА — сокращенный силлогизм, в котором выпущена одна из подразумевающихся частей. Силлогизм, как известно, состоит из трех частей, а именно: из большей и меньшей посылок и из вывода. Но в полном виде силлогизмы применяются сравнительно редко. Обычно силлогизм употребляется в сокращенном виде, когда та или иная часть умозаключения не высказывается, а только подразумевается.
В повседневной речи мы чаще всего пользуемся сокращенными силлогизмами. Иногда говорят так: «Молдавская ССР —• союзная республика; следовательно, она имеет свою конституцию». В данном случае упущено общее суждение «Все союзные республики имеют свою конституцию», которое должно было быть в большей посылке. Таков первый вид сокращенного силлогизма, когда выпущена большая посылка.
Несколько реже, но все же употребляется силлогизм, в котором выпущена меньшая посылка. В качестве примера такого сокращенного силлогизма можно привести следующее умозаключение:
«всякое ремесло полезно; следовательно, слесарное дело полезно».
Здесь выпущена и подразумевается меньшая посылка — «слесарное дело — ремесло».
Но можно выпустить не только одну из посылок, а также и заключение. Еще древнеиндийский логик Дхармакирти (VII в.) приводил такой силлогизм, в котором заключение словесно не выражено: Где нет огня, нет и дыма; а в данном месте дым есть.
Здесь выпущено и подразумевается заключение: «следовательно, в данном месте есть и огонь».
Подобные сокращенные силлогизмы употребляются во всех случаях, когда не требуется лишний раз высказывать всем известные истины. Аристотель (384—322 дон. э.) называл энтимему испытанным приемом логического убеждения в риторике. Объясняется это тем, что аудитория не всегда может скрупулезно следить за ходом аргументации оратора, п потому оратор использует энтимему. Речи, паполненные примерами, говорил Аристотель в «Риторике», убедительны, но «более впечатления производят речи, богатые энтимемами».
Как правильно заметил один английский логик, если иногда и встречается полный силлогизм, то он имеет вид щегольства логической точностью и правильностью. В средние века в английских университетах проводились такие публичные диспуты, на которых одна часть студентов" доказывала свои положения формальными строгими силлогизмами, а другая — опровергала их точно такими же силлогизмами. В самом деле, зачем в процессе доказательства того положения, что химия полезна, как так химия есть наука, восстанавливать еще и то положение, что «все науки полезны». Это известно каждому здравомыслящему человеку. Поэтому большую посылку можно вполне выпустить. Высказывание, не теряя ясности, становится более лаконичным. Чаще всего поэтому пропускается большая посылка, так как в ней, как правило, содержится общее суждение, которое обычно выражает известную всем истину.

Б первой фигуре простого категорического силлогизма (ем.) может опускаться как первая, так и вторая посылка. Большая посылка в этой фигуре опускается в тех случаях, когда общее положение ясно каждому. Так, мы говорим: комета есть небесное тело, следовательно, она подчиняется закону всемирного тяготения. В этой энтимеме первой фигуры выпущена большая посылка: все небесные тела подчиняются действию закона всемирного тяготения.
Но можно опустить и меньшую посылку. Так, мы говорим: все небесные тела подчиняются действию закона всемирного тяготения, а следовательно, и комета подчиняется действию закона всемирного тяготения. В этой энтимеме опущена меньшая посылка, понятная без особого о ней напоминания: комета — небесное тело.
Во второй фигуре простого категорического силлогизма (см.) также могут опускаться как большая, так и меньшая посылка. Так, мы говорим: религия основана на вере, следовательно, она не есть наука. В этой энтимеме опущена большая посылка: наука не может быть основана на вере. Но можно опустить и меньшую посылку. Так, мы говорим: все науки основаны на знании закономерностей материального мира, следовательно, религия не есть наука. Здесь выпущена меньшая посылка: религия не основана на знании закономерностей материального мира.
Надо сказать, что сокращение второй фигуры значительно труднее, чем первой. Собеседнику не всегда ясна опущенная посылка. Поэтому сокращение силлогизма второй фигуры должно производиться более осмотрительно. Ведь если собеседник не уловит опущенной посылки, то для него неясен будет и вывод .
Еще более внимательным надо быть при сокращениях в третьей фигуре простого категорического силлогизма (см.). Эту операцию можно производить только при исключительных обстоятельствах. Дело в том, что от собеседника требуется большая сообразительность, чтобы восстановить в уме недостающую посылку. Приведем такой пример: Демокрит жил в V в. до и. э., следовательно, некоторые люди, жившие в V в. до н. э., были материалистами. Но, как видно, в этом умозаключении ощущается недостаток опущенной посылки: Демокрит был материалистом.
В четвертой фигуре простого категорического силлогизма (см.) никакие сокращения посылок не возможны.
Можно сократить и условно-категорический и разделительный силлогизмы (См.). Правда, здесь, в отличие от категорического силлогизма, меньше возможностей, так как опустить можно только большую посылку. Напр.: «Данный треугольник непрямоугольный и нетупоугольный; следовательно, он — остроугольный»; здесь опущена большая посылка: «Треугольники бывают или остроугольные, или прямоугольные, или тупоугольные». Это— энтимема разделительного силлогизма. Другой пример: «Медь подвергнута трению, следовательно, она нагревается»; здесь опущена большая посылка: «Если медь подвергнута трению, то она нагревается». Это — энтимема условно-категорического силлогизма.
Обратив внимание на то, что энтимемы «почти неизбежны», современный математический логик С. Клини справедливо пишет, что «без них существенно замедлился бы обмен мыслями, сделавшись невыносимо скучным. С полным правом можно опускать то, что очевидно. В противном случае наши слушатели разбегутся. Есть такие посылки, которые очевидны в данном доводе потому, что они хорошо известны и общеприняты, или потому, что мы о них уже только что говорили. Обратно, если действительно можно опустить какую-либо посылку без ущерба для ясности, то оставшаяся часть доказательства должна более или менее сразу подсказывать, что именно подразумевается. Поэтому можно ее подразумевать молча» [1963, стр. 86].

ХАРАКТЕРИСТИКА — один из приемов ознакомления с предметом в тех случаях, когда определение понятия невозможно или не требуется. Этот прием заключается в следующем: указываются какие-либо заметные признаки предмета, имеющие известное значение в каком-либо отношении. Характеристика может быть полной и неполной, правильной и неправильной, положительной и отрицательной, всесторонней и односторонней и т. д., но одно качество, которое должно быть присуще любой характеристике,— это объективность. Анализируя характеристики хозяйства крестьян низшей группы, приведенные в работе экономиста В. Е. Постникова, В. И. Ленин указывал, что эти характеристики «несмотря на свою многочисленность, совершенно недостаточны: они исключительно отрицательные, тогда как должна быть и положительная характеристика».

ФОМА АКВИНСКИЙ (1225/6—1274) — итальянский католический теолог-схоласт, монах-доминиканец. Фома пытался приспособить аристотелевскую философию к христианскому вероучению. С этой целью он преобразовал концепцию Аристотеля (384—322), выбросив из нее все материалистические моменты. Им написаны комментарии к сочинениям Аристотеля, изданные в пяти томах. По словам А. О. Маковельского [528, стр. 276], Фома окончательно «охристианизировал» Аристотеля и за это церковью был признан святым (в 1323 г. он был канонизирован папой Иоанном XXII).
Вопросы логики рассматриваются Фомой в таких сочинениях, как «О природе рода», «О природе акциденции», «О модальных суждениях», «О заблуждениях» и др. В теории универсалий (см.) он придерживался умеренного реализма (см.), согласно которому обшие понятия существуют раньше единичных вещей, но затем выступают в своих вещах в виде сущности и потом снова вне вещей как понятия человеческого ума. Фома не отрицал роли чувственного познания, но считал его «пассивным». Активное познание возможно только посредством разума. Помимо истин разума теолог признавал существование истин откровения, познание которых основано только на вере.
Согласно [462, стр. 121], Фома Аквинский предвосхитил лейбницевское определение тождества: «два предмета тождественны, если они обладают следующим свойством: все, что приписывается одному из них, может быть приписано и другому». Фома знал такие логические функторы модальных предложений, как «необходимо», «возмояшо», «невозможно», «случайно», «истинно» и «ложно». Умозаключения он разделял на четыре группы: аподиктические, диалектические (вероятностные), умозаключения для спора и софистические.

ТРАНСЦЕНДЕНТАЛЬНАЯ ЛОГИКА (лат. transcen-dere — переступать) — философская логика, которая, по мнению немецкого философа Канта (1724—1804), должна преодолеть ограниченность взгляда обычной, общей логики на формы мышления. Если обычная логика, ведущая свою историю от Аристотеля, изучала, утверждал Кант, формы мышления (понятия, суждения и умозаключения), полностью абстрагируясь (отвлекаясь) от анализа предметного содержания, мыслимого в этих формах, то трансцендентальная логика выясняет те условия, которые придают нашим знаниям априорный (доопытный) характер и обеспечивают возможность безусловно всеобщих и безусловно необходимых истин.
Трансцендентальная логика, говорит Кант, «имеет дело исключительно с законами рассудка и разума, но лишь постольку, поскольку они a priori относятся к предметам, в отличие от общей логики, которая имеет дело и с эмпирическими знаниями, и с чистыми знаниями разума без различия» [27, стр. 64].
Когда предметом логического мышления выступают явления опыта, то в этом случае, по Канту, знание может быть всеобщим и необходимым, но как только логическое мышление попытается выйти за пределы чувственного опыта, за пределы явлений и получить достоверное знание о «вещах в себе» (см.), то оно неизбежно впадает в противоречие с самим собой, и тогда становится возможным обоснование как тезиса (утверждения), так и антитезиса (отрицания). Возникают, говорит Кант, четыре антиномии (см.) — две математические и две динамические.
В трансцендентальной логике Кант учил, что знание выражается в форме суждения, являющегося связью понятий. Все суждения он делил на аналитические, или объясняющие, предикат которых уже заранее содержится в субъекте («все тела протяженны»), и синтетические, или расширяющие, в которых знание, содержащееся в предикате, прибавляется к знанию, заключенному в субъекте («все тела обладают весом»).
Если аналитические суждения не зависят от опыта, то синтетические суждения могут быть как априорными (доопытными), в которых до всякого опыта известна связь субъекта и предиката, так апостериорными (связанными с опытом), в которых связь субъекта и предиката устанавливается лишь в опыте. В трансцендентальной логике Кант занимается исследованием априорных синтетических суждений, утверждая, что только в форме этих суждений возможно достижение безусловно всеобщих и безусловно необходимых истин. Эта логика потому и называется им трансцендентальной, что в ней исследуются априорные формы познания.
Кант придерживался следующей классификации суждений:
1) по количеству — общие, частные и единичные;
2) по качеству — утвердительные и отрицательные (Кант говорил еще о бесконечных суждениях, но они в традиционной логике не «привились»);
3) по отношению — категорические, гипотетические и разделительные (в данном случае Кант допустил логическую ошибку, так как в этом делении несколько оснований);
4) по модальности — проблематические, ассерторические и аподиктические.

СТРУКТУРА (лат. structure — строение, связь) — прочная относительно устойчивая связь (отношение) и взаимодействие элементов, сторон, частей предмета, явления, процесса как целого. Значение структуры облегчает изучение элементов, входящих в целое, поскольку элементы находятся в зависимости от структуры целостного образования. До поры до времени изменение элементов целого не сказывается на структуре, но затем, когда количественные изменения перейдут в качественные, структура предмета, явления скачкообразно изменяется.
Если трактовать «структуру» как философскую категорию, то ее можно трактовать как модификацию «внутренней формы» в учении Гегеля и как составляющую вместе с «составом» категорию «содержание», где последняя соотносится с «формой» в смысле «внешней формы».
В наши дни широко применяется так называемый структурный метод. И это понятно. Представить себе исследуемый объект как целостную структуру, элементы и части которой связаны познанной нами системой закономерных отношений и зависимостей,— это значит сделать огромный шаг в понимании природы и сущности объекта. Но все дело в том, как философски трактовать саму структуру и ее роль в объекте, а также характер взаимосвязи элементов и целого. Это можно показать на примере применения структурного метода в близкой к логике науке — языкознании.

СОФИСТЫ — греческие философы, вошедшие в историю античной философии под названием учителей «мудрости» и «красноречия». По своим философским и логическим взглядам они делились на несколько групп.
Старшие софисты (Протагор, Горгий, Гиппий, Про-дик, Антифон) исследовали вопросы политики, этяки, государства, права, языкознания. Все прежние принципы они подвергли сомнению, все истины объявили только относительными. Но этот релятивизм, перепесенный в теорию познания, привел софистов к отрицанию объективной истины. Известен афоризм Прота-гора о том, что «человек есть мера всех вещей», что каждый человек имеет свою особую истину. Горгий пошел еще дальше, объявив в своем сочинении «О несуществующем, или о природе», что вообще «ничто не существует», в том числе не существует и природа. Присоединяясь к этому тезису Горгия, софист Ксениад заявлял, что нет истинных суждений, что все высказывания людей ложны.
Младшие софисты (Критий, Гипподам) настолько абсолютизируют релятивизм, что софистика у них уже вырождается в жонглирование словами, в фальшивые приемы «доказательства» истины и лжи одновременно.
Во все времена софистика подвергалась порицанию и критике не только со стороны прогрессивных деятелей науки и политики, но и со стороны всех людей здравого смысла. Еще Аристотель (384—322 до и. э.) называл софистов учителями «мнимой мудрости». В своем трактате «О софистических опровержениях» он дал систематический разбор опровержений софистических уловок, при помощи которых в споре можно получить обманчивую видимость победы.

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ — различные записи чисел с помощью специальных знаков, называемых цифрами. Так, общепринятая десятичная система использует 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В вычислительных машинах применяются другие системы счисления. Простейшей системой счисления, применяющейся в этих машинах, является двоичная система, использующая только две цифры: 0 и 1 (см. Двоичная система счисления). В троичной системе используются 3 цифры: 0, 1, 2. Известны также восьмеричная, двенадцатеричная системы счисления (см. Троичная система счисления, Восьмеричная система счисления). Число цифр, с помощью которых записываются числа в данной системе счисления, называется основанием системы счисления. Все системы счисления делятся на две группы: позиционные системы счисления (см.), в которых цифра означает различные числа, в зависимости от позиции, которую она занимает в последовательной записи цифр, входящих в число, и непозиционные системы счисления (см.), в которых каждый знак (цифра или какой-нибудь другой символ) означает одно и то же число, какое бы место (позицию) он ни занимал. Из истории известно, что в разные исторические эпохи человечество пользовалось различными системами счисления: пятеричными, двад-цатеричными и даже шестидесятеричными (и в наши дни мы еще делим минуту на 60 секунд, а час — на 60 минут).

СИНТЕТИЧЕСКОЕ АПРИОРНОЕ СУЖДЕНИЕ — в идеалистической логике Канта суждение, в котором логическое сказуемое якобы не заключено в подлежащем и тем не менее является априорным, т. е. существует до всякого опыта. В отличие от аналитического суждения (см.), сказуемое которого ничего нового не добавляет к признакам, уже заранее имеющимся в подлежащем, синтетическое суждение приносит нечто новое в содержание подлежащего.
Синтетическое суждение, напр., «тело имеет тяжесть» (пример Канта), определяется поэтому как суждение, расширяющее познание, в противоположность аналитическому суждению, напр., «тело протяженно», которое только объясняет имеющееся знание. Характер этого примера объясняется тем, что, согласно Декарту, протяженность и есть сущность телесности. Так, все основные положения арифметики и естествознания принадлежат, по Канту, к синтетическим суждениям. Положение 7 + 5 = 12, говорит Кант, может с виду показаться аналитическим суждением, которое должно следовать из понятия 7 и 5 по логическому закону противоречия, но при ближайшем рассмотрении оказывается, что понятие суммы 7 и 5 не заключает в себе ничего, кроме соединения двух чисел в одном; понятие 12 мыслится отнюдь не в том, что мы представляем это соединение 7 и 5, ибо сколько бы мы не расчленяли понятие о такой возможной сумме, мы все-таки не встретили бы в нем двенадцати.
Подобное деление суждений на аналитические и синтетические не вытекает из природы суждения, которое является отображением в человеческой голове свойств, связей и отношений предметов, явлений. Сказуемое каждого суждения выражает знание о том, или ином свойстве, виде связи или отношения предметов. И поэтому каждое суждение является одновременно и аналитическим и синтетическим. В суждении дается результат анализа предмета, когда вычленяется в нем свойство, связь, отношение, но в суждении и синтезируются наши знания о предмете, ибо оно является целостным единством знания о предмете и его свойстве, связях и отношениях.
Существование синтетического суждения a priori опровергнуто наукой, напр., через открытие неевклидовых геометрий. Аксиомы геометрии Евклида, на которые ссылаются идеалисты, есть результат многовековой общественно-производственной практики людей. Миллиарды раз убедившись на опыте в том, что не кривая, а прямая линия есть кратчайшее расстояние межд-' двумя точками, человек сформулировал соответствующую аксиому. Из опыта также установил человек, что 7 + 5 = 12. Если бы понятие о двенадцати было дано априорно, до опыта, то в таком случае непонятно, почему же дети и первобытные люди не имеют этого понятия в своем познании. Вначале они на опыте узнали, что 4= 2 + 2 и только впоследствии, по мере расширения практики, они пришли к познанию того, что 12 есть 7 + 5. Учение И. Канта о синтетических априорных суждениях есть утонченная форма идеалистического учения о врожденных идеях (см.). Диалектический материализм учит, что все человеческие суждения суть результат опыта практики.
Разделение суждений на аналитические и синтетические имело значение в кантовской критической философии. Допущение их требовалось для подкрепления идеи априоризма в целом. Существование синтетических суждений, не зависимых от опыта, Кант признает в области математики (так называемые априорные синтетические суждения).
Но отвергая возможность существования синтетических суждений a priori (см.) и основанное на этом кан-товское деление суждений на аналитические и синтетические, нельзя вместе с тем не отметить, что Кант в своем учении об аналитических и синтетических суждениях ставил вопрос о соотношении эмпирического и теоретического знания, вопрос, который, как отмечает Е. Д. Смирнова [472, стр. 323], является в наши дни одним из центральных и дискуссионных в семантике (см.).
Известна полемика по этому поводу между американскими логиками Р. Карнапом и У. Куайном. Первый делит все имеющие смысл суждения на суждения синтетические, которые несут определенную информацию о действительности, и суждения-тавтологии, которые не несут никакой информации о мире. Причем синтетические суждения получаются только путем обращения к опыту. И в этом отношении синтетические суждения — это суждения a posteriori (см.), суждения эмпирические. Тавтологии же не возможно получить в опыте, истинность или ложность их не зависит от связи с действительностью. У. Куайн доказывает, что теткой грани между аналитическим и синтетическим вообще не существует. По его мнению, нельзя сводить к опыту отдельные положения науки и потому нет основания выделять особый класс эмпирических (синтетических) истин. Суждения, говорит он, нельзя делить на синтетические (эмпирические) и теоретические. Сам он различает суждения в зависимости от того, насколько они близки или удалены от «периферии» человеческих знаний, соприкасающейся с опытом.
Проанализировав различные взгляды по поводу деления суждений на аналитические и синтетические, Е. Д. Смирнова приходит к заключению, что деление суждений на аналитические и синтетические правомерно, но оно носит относительный характер в том смысле, что определенное суждение будет аналитическим или синтетическим лишь относительно данной языковой системы. О суждении, взятом вне той или иной семантической системы, бессмысленно спрашивать, аналитическое оно или синтетическое. Проблема аналитических и синтетических суждений определенной семантической системы, как полагает Е. Д. Смирнова,— это проблема «упорядочения», классификации нашего знания.