ФОРМАЛИЗОВАННАЯ ТЕОРИЯ — теория, изучающая объекты (материальные и идеальные) с помощью операций, совершающихся по правилам, которые определяются только формой принятых в данной теории знаков, представляющих объекты и их связи, отвлекаясь от внутренних закономерностей развития и изменения содержания исследуемых объектов. В отличие от неформализованной теории (интуитивной) в формализованной теории свойства элементарных понятий заданы точным аксиоматическим методом (см.). Язык формализованной теории (см. Формализованный язык) отличается от обычного языка точностью, однозначностью и отсутствием исключений. Алфавит языка формализованной теории составляется из знаков, назначение которых в какой-то мере сходно с назначением букв естественного языка. В качестве таких языков применяются индивидуальные переменные, замещающие исследуемые единичные объекты; предикаты, соответствующие отношениям между объектами; функторы, замещающие отображения и функции; вспомогательные знаки (скобки, запятые и т. п.).
Все выражения, предложения и понятия формализованной теории являются конечными последовательностями знаков. Сформированные конечные последовательности называются термами (см.) формализованной теории. Составляются эти последовательности с помощь» простых правил дедуктивного характера. Причем процесс дедукции, т. е. процесс выделения новых конечных последовательностей из принятых в формализованной теории аксиом, сведен к простым операциям, осуществляющимся чисти механически. Преимущество формализованной теории состоит также в том, что ее язык содержит систему логического анализа, позволяющую эффективно и быстро определить, является ли данный знак исходным, можно лп считать данную формулу правильно построенной, выводится ли данная формула из посылок и т. п. В результате, напр., в формализованных математических теориях, как это показано в [1836], в частности, в формализованной арифметике и в формализованной теории множеств, удалось избежать ряда парадоксов (см.), т. е. высказываний, приводящих к взаимоисключающим результатам, которые в равной мере доказуемы и которые нельзя отнести ни к числу истинных, ни к числу ложных.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА (англ. computing machinery) — совокупность технических и математических средств частичной или полной автоматизации вычислений, предназначенная для снижения трудоемкости и ускорения решения сложных задач, возникающих при обработке информации. Вычислительная техника особенно быстро начала развиваться в середине XX в., когда наука и производство (особенно ядерная физика, реактивная и ракетная техника) встретились с такими математическими задачами, решение которых ввиду огромного объема громоздких вычислений и их сложности исключали возможность выполнения вычислений на существовавших тогда клавишных вычислительных машинах (арифмометрах, планиметрах и др.) С каждым годом растет потребность в обработке и обобщении скачкообразно возрастающих объемов информации, необходимой для оптимального управления производством, планирования народного хозяйства, точного и своевременного учета. Вычислительные машины становятся непременным орудием руководителей самых многообразных систем управления, особенно систем автоматического управления.
Современная вычислительная техника представлена цифровыми вычислительными машинами (ЦВМ) и электронными цифровыми вычислительными машинами (ЭЦВМ). В настоящее время в вычислительных центрах, в научных учреждениях и на предприятиях нашей планеты функционируют десятки тысяч таких вычислительных машин. С помощью ЦВМ и ЭЦВМ стало возможным решать за несколько минут такие задачи, на решение которых с помощью средств прежней вычислительной техники потребовались бы десятки лет работы большого коллектива математиков. Уже сегодня имеется возможность с помощью применения интегральных полупроводниковых схем обеспечить быстродействие вычислительных машин до 10—100 млн. арифметических операций в секунду.

АППРОКСИМАЦИЯ (лат. approximare — приближаться) — приближенное выражение каких-либо величин через другие, более простые или более известные величины, в том или ином смысле близкие к исходным. Процессы аппроксимации приобрели особо актуальное значение в связи с ростом числа исследований сложных систем, а когда системы становятся сложными, говорит У. Эшби, то их «теория практически заключается в том, чтобы найти пути упрощения» [1047, стр. 78]. Аппроксимация в современной математике считается одним из основных понятий.
Наиболее часто применяющимся видом и инструментом аппроксимации является моделирование (см.).
Модель — это упрощенный слепок с какой-то сложной системы, позволяющий познать закономерности этой системы. А поскольку законченную причинную теорию поведения сложных динамических систем сразу построить не удается, постольку, пишут И. Б. Новик н А. И. Уёмов [1048, стр. 269], для этих систем первоначально формулируется гипотетическая, аппроксимированная функциональная модель, с тем чтобы в дальнейшем запрограммировать в кодированной форме эту модель, ввести ее в электронно-вычислительную машину и, проверив ее, привести в движение механизм наращивания информации о данной сложной системе. Так, в последнее время все большую роль приобретает аппроксимированное моделирование случайного непрерывного процесса в виде последовательности дискретных величин.

АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ — теория множеств (см.), изложенная в виде формальной системы (см.). Возникла аксиоматическая теория множеств в связи с выявленными в канторовской теории множеств, которую называют «наивной» (см. «Наивная» теория множеств), парадоксами (см.), т. е. противоречиями. Эти парадоксы, как разъясняют Ю. А. Гастев и А. С. Есенин-Вольшгя в [1785, стр. 345], обусловлены неограниченным применением в канторовской теории множеств так называемого принципа свертывания (или абстракции), согласно которому для всякого свойства существует множество, состоящее из всех предметов, обладающих этим свойством. В первых десятилетиях XX в. Цермело, а затем Френкель заменили принцип свертывания несколькими его частными случаями. Это была первая система аксиоматической теории множеств. В это же время Б. Рассел, пытаясь освободить теорию множеств от парадоксов, предложил свою теорию типов (см.). В дальнейшем аксиоматическая теория множеств развивается в трудах У. Куайна, К. Гёделя, П. Дж. Коэна и др.

ШУППЕ (Schuppe) Вильгельм (1836—1913) — немецкий философ, субъективный идеалист, глава реакционной имманентной школы, один из приверженцев теоретико-познавательной логики. Понятие и умозаключение, по Шуппе,— совокупности суждений. Он скептически относился к индукции (см.), не признавая за ней самостоятельного значения как формы умозаключения. Шуппе отождествлял бытие и сознание, при этом бытие включал в сознание как нечто внутренне присущее сознанию. Правда, позже, в 1894 г. в книге «GrundrijB der Erkenntnistheorie und Logik» («Очерк теории познания и логики») он, вопреки субъективному идеализму, признал, что пространство и время независимы от человеческого сознания, т. е. объективны. В книге «Erkenntnistheoretische Logik» («Теоретико-познавательная логика»), опубликованной в 1878 г., выступил с концепцией, обосновывающей единство логики и теории познания, поскольку и та и другая, говорил он, заняты определением истинного и ложного. Но в действительности — это две самостоятельные научные дисциплины: логика формальная, а Шуппе именно ее имел в виду, исследует законы выводного знания, теория же познания занимается, имеет своим предметом процесс возникновения и развития познания, проблему отношения познания к окружающему миру. О единстве логики и теории познания можно говорить, если только иметь в виду диалектическую логику и теорию познания диалектического материализма. Диалектическая логика есть часть теории познания марксистско-ленинской философии.

ЧЛЕН ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ (лат. alqualis — равный, valentis — имеющий силу; равносильный) — одно из высказываний (см.), входящих в сложное высказывание, члены которого соединены при помощи союза «если, и только если», а также соответствующего ему знака ~. Нацр., высказывание «5 больше 3» является членом такого сложного высказывания, начинающегося эквивалентностью (см.): «5 больше 3 ~ Рим — столица Италии».
Первый член такого сложного высказывания («5 больше 3») называется левой частью эквивалентности, а второй член этого высказывания («Рим — столица Италии») — правой частью эквивалентности.
Союз «если, и только если» в исчислении высказываний (см.) математической логики не выражает смысловой связи между членами эквивалентности, а выражает лишь отношение их по истинностным значениям («истинно» и «ложно»). Поэтому эквивалентность истинна тогда и только тогда, когда элементы, входящие в эквивалентность, оба истинны или оба ложны; когда же один из членов эквивалентности ложен, а другой — истинен, то эквивалентность в целом ложна.

ТЕОРИЯ ИГР — теория, исследующая с помощью математических моделей разного рода стратегические игры, в которых участники ставят прямо противоположные задачи и добиваются осуществления своих целей различными путями. Предметом теории игр является поэтому изучение возможности принятия наиболее выгодного решения задачи в условиях неопределенности, когда приходится иметь дело со множеством возможных ситуаций и, следовательно, множеством возможных решений, поскольку каждый из противников имеет неполную информацию о намерениях противника, который может принять решение, способное кардинально изменить ход игры. В теории игр рассматривается количественная мера «выигрыша» в результате принятия правильной стратегии в данных условиях, исследуются модели наиболее выгодного поведения в условиях столкновения различных сторон, имеющих противоположные цели и интересы (модели конфликтов), общие правила установления стратегии, т. е. поведения игрока в той или иной ситуации. Математическое описание игры, согласно [1761, стр. 208— 210], сводится к перечислению всех участвующих в ней игроков, указанию для каждого игрока множества всех его стратегий, а также численного выигрыша, который он получит после того, как все игроки выберут свои стратегии. Согласно принятому в теории игр «принципу минимакса», рекомендуется выбирать стратегию с учетом того, чтобы даже в случае самой оптимальной стратегии, принятой противником, выбирающий стратегию понес наименьшие потери. После этого игра становится формальным объектом, который поддается математическому анализу. Основная цель этого анализа состоит в разработке критериев целесообразности поведения игроков, доказательстве существования у игроков оптимальных стратегий, установлении важнейших оптимальных стратегий, формул и алгоритмов для их фактического вычисления. Игры классифицируются по различным признакам: 1) коалиционные и бескоалиционные (каждая сторона состоит из одного игрока); 2) игры нормальной формы (информация получена до начала игры) и динамические игры (информация поступает игрокам постепенно); конечные и бесконечные (в зависимости от числа стратегий). Встречается и такая классификация игр [1855]: 1) антагонистические, в которых сумма выигрышей игроков в каждой ситуации равна нулю; 2) с полной информацией, в которых все участники располагают полной информацией о сложившейся в игре ситуации в каждый момент времени; 3) матричные — такие антагонистические игры, в которых каждый игрок имеет конечное число стратегий; 4) игры с природой, в которых один из противников не имеет определенной стратегии и целей; 5) с неполной информацией, в которых участники располагают неполной информацией о позициях, сложившихся в игре.

ТЕОРИЯ (греч. theoria — наблюдение, рассмотрение, исследование) — обобщение опыта, практики общественно-производственной и научной деятельности людей, вскрывающее основные закономерности развития той или иной области материального мира а психики и направленное на дальнейшее преобразование объективной действительности и самого человека. «Теоретическое познание,— пишет В. И. Ленин,— v должно дать объект в его необходимости, в его всесторонних отношениях, в его противоречивом движении an und fur sich. Но человеческое понятие эту объективную истину познания „окончательно" ухватывает, уловляет, овладевает ею' лишь когда понятие становится „для себя бытием" в смысле практики» [14, стр. 193]. Критерием истинности теории является практика. Сила теории в ее связи о практикой.
Поскольку теория есть отражение объективного мира в сознании человека, постольку с изменением объективного мира должна меняться и теория. На основе познания новых фактов в теории возникают новые обобщения, которые, накапливаясь, приводят^ тому, что старая теория заменяется новой теорией." При этом новая теория сохраняет в себе все положительное, которое имелось в старой теории. В этой преемственности теорий заключен момент относительной самостоятельности теории.
Диалектику единства и преемственности, примата практики и относительной самостоятельности теорий Ф. Энгельс очень хорошо показал на примере взаимоотношения теории великих французских просветителей XVIII в. и социализма. «Как всякая новая теория,— писал он в «Анти-Дюринге»,— социализм должен был исходить прежде всего из накопленного до пего идейного материала, хотя его корни лежали глубоко в экономических фактах» [22, стр. 16]. Теоретическое мышление каждой эпохи, замечает Ф. Энгельс, это — исторический продукт, который принимает в различные времена очень различные формы и вместе с тем очень различное содержание. Отсюда он делает вывод, что и наука о мышлении — это историческая наука, наука об историческом развитии мышления. Люди не могут безразлично относиться к этой науке. Этим объясняется, что «формальная логика остается, начиная с Аристотеля и до наших дней, ареной ожесточенных споров».

СОЗЕРЦАТЕЛЬНОСТЬ — характерная черта теории познания домарксовского материализма, который сводил человеческое познание к пассивному процессу восприятия, созерцания предметов и явлений материального мира. Весь объективный мир домарксов-скио материалисты одностороннее противопоставляли человеку, который, по их мнению, может лишь воспринимать с помощью своих органов чувств предметы и явления, но не изменять, не преобразовывать окружающую его среду в ходе общественно-производственной практики. Если некоторые из домарксовских материалистов и говорили иногда о какой-то роли практической деятельности, то и тогда они сводили ее к деятельности одиночек-робинзонов. На такое решение вопроса о взаимоотношении внешнего мира и человека старых материалистов толкало еще и то, что они были идеалистами в понимании истории человеческого общества. На самом деле человек в процессе познания приходит во взаимодействие не столько с природой как таковой, а с ноосферой (термин Ле-Руа и В. И. Вернадского), т. е. с областью природы, охваченной разумной деятельностью человека, поскольку, овладевая закономерностями развития окружающего мира, человечество с помощью пауки и техники подчиняет своей власти и преобразует природу в соответствии со своими потребностями. Марксистская философия рассматривает познание в единстве с практической деятельностью человека. Глубокое познание какого-нибудь предмета становится возможным лишь тогда, когда он применяется в процессе общественно-производственной практики людей. Поэтому подлинное познание .— это не пассивное восприятие, а активное отношение человека к предметам внешнего мира в ходе эксперимента, опыта, научной и производственной деятельности.

РАЦИОНАЛИЗМ (лат. rationalis — разумный) — направление в теории познания, признающее разум единственным источником истинного знания и отвергающее иррациональную мистику и теологию. Рационализм в свое время сыграл прогрессивную роль в борьбе против одностороннего эмпиризма и религиозного догматизма. Но поскольку рационализм принижал значение чувственного познания и не понимал роли общественной практики, постольку он не мог преодолеть недостатки прежних взглядов на познание. Родоначальник рационализма нового времени — Рене Декарт (1596—1650).
Ошибочно полагай, что достоверные знания не могут быть выведены из опыта и его обобщений, рационалисты считали, что только разумом мы можем постигнуть существующее. Отбросив основной источник всех наших знаний — чувственные знания, некоторые рационалисты, естественно, пришли к учению о «врожденных идеях», якобы существующих в нашей душе в готовом виде изначально, что вело их к идеализму.
Односторонность рационализма полностью преодолена только диалектическим материализмом, который показал, что источником позннния является чувственный опыт. Но познание сущности, всеобщих связей и отношений достигается посредством разума, перерабатывающего данные, полученные от органов чувств. Чувственное и логическое, следовательно,— это две неразрывно связанные стороны единого мыслительного процесса повнания. Органическая связь чувственных образов н логических понятий осуществляется в процессе практической деятельности человека.